タウ数
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タウ数（タウすう、 Refactorable number[定訳なし]) とは、約数の個数で割り切れるような整数、すなわち、τ(n) | n を満たす自然数 n である (τ(n) は約数関数の一種で、n の約数の個数を返す関数)。例えば、18は6個の約数 (1, 2, 3, 6, 9, 18) を持ち、さらに18は約数の個数6で割り切れるためrefactorableである。
タウ数を小さいものから並べると
となる。
歴史
タウ数は約数関数 τ(n) に関連して研究され、例えばクラウディア・スピロ (Claudia Spiro) は与えられた数より小さいタウ数の個数や、関連した集合の個数についていくつか上界を与えている[1]。
1982年のスピロの論文では特に名称などは与えられておらず、1990年にカーティス・クーパー (Curtis Cooper) とロバート・E・ケネディ (Robert E. Kennedy) によってタウ数と命名され、その後サイモン・コルトン (Simon Colton) によって、コンピュータープログラムによって発見された数列として[2]再発見された[3]。“Refactorable number” の名称はコルトンによるものである。
コルトンが行ったタウ数の基本的な性質についての予想は、そのうちいくつかはジョシュア・ゼリンスキー (Joshua Zelinsky) によって証明された[3]。ゼリンスキーはタウ数およびタウ数の類似について数多くの定理と予想を示している。
性質
存在性
タウ数は無限に存在し、複数の方法でタウ数の無限列 (または無限集合) を得ることができる：
