自己記述数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/05 00:23 UTC 版)
ナビゲーションに移動 検索に移動自己記述数（じこきじゅつすう、self-descriptive number）とは、以下の条件を満たす整数 m のことである。
- m の桁数 b が、m の基数を示す。
- 先頭の桁を0桁目としたとき、m の全ての n 桁目の数字 d が、m における数字 n の個数を示す。
例
基数10において、6210001000は以下の理由で自己記述数である。
- 桁数10が、その基数10を示している。
- 0桁目の数字6が、6210001000の中に数字0が6個あることを示している。
- 1桁目の数字2が、6210001000の中に数字1が2個あることを示している。
- 2桁目の数字1が、6210001000の中に数字2が1個あることを示している。
- 3桁目の数字0が、6210001000の中に数字3が0個あることを示している。
- 4桁目の数字0が、6210001000の中に数字4が0個あることを示している。
- 5桁目の数字0が、6210001000の中に数字5が0個あることを示している。
- 6桁目の数字1が、6210001000の中に数字6が1個あることを示している。
- 7桁目の数字0が、6210001000の中に数字7が0個あることを示している。
- 8桁目の数字0が、6210001000の中に数字8が0個あることを示している。
- 9桁目の数字0が、6210001000の中に数字9が0個あることを示している。
他の基数における自己記述数
基数1, 2, 3, 6には自己記述数が存在しない。7以上の基数では、少なくとも以下の形式の自己記述数が必ず存在する。
この数は、0桁目の数字が b − 4 、1桁目の数字が 2、2桁目の数字が 1、b − 4 桁目の数字が 1、それ以外の桁の数字が 0 となる。
以下に、各基数における自己記述数を示す。
| 基数 | 自己記述数 （オンライン整数列大辞典の数列 A138480） | 基数10での値 （オンライン整数列大辞典の数列 A108551） |
|---|---|---|
| 1 | なし | |
| 2 | なし | |
| 3 | なし | |
| 4 | 1210, 2020 | 100, 136 |
| 5 | 21200 | 1425 |
| 6 | なし | |
| 7 | 3211000 | 389305 |
| 8 | 42101000 | 8946176 |
| 9 | 521001000 | 225331713 |
| 10 | 6210001000 | 6210001000 |
| 11 | 72100001000 | 186492227801 |
| 12 | 821000001000 | 6073061476032 |
| 13 | 9210000001000 | 213404945384449 |
| 14 | A2100000001000 | 8054585122464440 |
| 15 | B21000000001000 | 325144322753909625 |
| 16 | C210000000001000 | 13983676842985394176 |
| ... | ... | ... |
| 36 | W21000...0001000 （省略部には23桁の 0 がある） |
約 2.14349×1053 |
| ... | ... | ... |
特性
上の表に記載されている数字からは、全ての自己記述数は全ての桁の数字の合計（数字和）が基数と一致する、また、全ての自己記述数は基数の倍数であるように見える。1つ目の事象については、自己記述数の定義より、全ての桁の数字の合計は桁数と一致し、桁数は基数を表しているということから自明である。
基数bの自己記述数が必ずその基数の倍数である（あるいは、自己記述数の最後の桁の数字が必ず0である）ことは、次のように証明できる。
- 基数bの自己記述数mが、桁数はb桁だがbの倍数ではない（最後の桁の数字が0ではない）と仮定する。
- この場合、b − 1 桁目（最後の桁）の数字は少くとも1となる。これは、mに数字 b − 1 が少なくとも1つは存在することを意味する。
- 数字 b − 1 がx桁目にあるとした場合、m の中に数字 x が b − 1 個存在しなければならない。
- 従って、m には少くとも1の数字が1個、数字 x が少なくとも b − 1 個あることになる。ここで、x > 1 の場合、m の桁数が b を超えるので、最初の仮定と矛盾している。また、x = 0 または 1 の場合も矛盾が生じる。
基数bの自己記述数は、基数bのハーシャッド数である。
出典
- Clifford Pickover, Keys to Infinity, Chapter 28, "Chaos in Ontario." New York: Wiley, pp. 217–219, 1995.
- Weisstein, Eric W. "Self-Descriptive Number". MathWorld (英語).
- Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A108551 (Self-descriptive numbers in various bases)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2021年4月5日閲覧。
- Sloane, N.J.A. (ed.). "Sequence A046043 (Autobiographical numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 2021年4月5日閲覧。
- Autobiographical Numbers
- 自己記述数のページへのリンク
