プロス数とは？わかりやすく解説

プロス数（ぷろすすう、Proth number）とは、以下の制約を満たす式で表される自然数 $N$ のことである。プロス数の名は、19世紀フランスの数学者 François Proth（英語版）にちなんで付けられた。

N=k\cdot 2^{n}+1

制約1: $k$ は正の奇数。
制約2: $n$ は正の整数。
制約3: $2^{n}>k$ 。

※ 制約3が無い場合、1より大きなあらゆる奇数がこの式から生まれてしまう。^[1]

プロス数の最初の数項は

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241,… (オンライン整数列大辞典の数列 A080075)

である

カレン数 (n·2ⁿ+1) やフェルマー数 (2^2ⁿ+1) は、プロス数の特殊なケースと考えることもできる。

プロス素数

プロス素数（ぷろすそすう、Proth prime）とは、素数であるプロス数のことである。^[2]

プロス素数の最初の数項は

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409, 1601, 2113, 2689, 2753, 3137, 3329, 3457, 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857, …(オンライン整数列大辞典の数列 A080076)

である。

プロスの定理（英語版）を用いて、プロス数がプロス素数であるか否か判定を行うことができる。^[3] $p$ をプロス数とする以下の合同式を満たす整数 $a$ を見つけることができれば、 $p$ はプロス素数である。プロス素数は無数にあると予想されているが、証明されていない。

a^{(p-1)/2}\equiv -1{\pmod {p}}

すなわち、 $a^{(p-1)/2}$ に1を加えた数が $p$ で割り切れるよう、 $a$ を探せばよい。

2016年現在^[update]、発見済みである最大のプロス素数は 10223×2^31172165 + 1 であり、9,383,761桁の大きさを持つ。^[4] このプロス素数は PrimeGrid プロジェクトの Péter Szabolcs によって導き出された事が2016年11月6日に発表された。^[5] このプロス素数はメルセンヌ素数に属さない最大の素数でもある。^[6]

脚注

^ Weisstein, Eric W. "Proth Number". MathWorld（英語）.
^ Weisstein, Eric W. "Proth Prime". MathWorld（英語）.
^ Weisstein, Eric W. "Proth's Theorem". MathWorld（英語）.
^ Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The en:Prime Pages.
^ “World Record Colbert Number discovered!”. 2016年12月7日閲覧。
^ Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The en:Prime Pages.

[1] Weisstein, Eric W. "Proth Number". MathWorld（英語）.

[2] Weisstein, Eric W. "Proth Prime". MathWorld（英語）.

[3] Weisstein, Eric W. "Proth's Theorem". MathWorld（英語）.

[4] Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth, from The en:Prime Pages.

[5] “World Record Colbert Number discovered!”. 2016年12月7日閲覧。

[6] Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes, from The en:Prime Pages.

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[2]

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[4]

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関連項目

脚注

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