メガ素数とは? わかりやすく解説

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メガ素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/12/01 02:31 UTC 版)

メガ素数英語: megaprime)は、100万以上の素数である[1]

メガ素数の年次ごとの発見数

2024年11月 (2024-11)現在、2899 個のメガ素数[2]と 146 個の確率的メガ素数[3]が知られている。最初に発見されたメガ素数は、メルセンヌ素数の26972593−1(2,098,960桁)で、1999年6月1日にNayan Hajratwalaが分散コンピューティング・プロジェクト、GIMPSを使用した物であった[4][5]

10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。

種類別のリスト

以下では、メガ素数または確率的メガ素数を、素数の種類別に一覧で示す。ここで、「Prime/PRP」欄は、素数であると証明されたものを "Prime"、底ごとのフェルマーテストなど、いくつかのテストをクリアした確率的素数を "PRP" で表している。

メルセンヌ素数

2024年11月現在で52個のメルセンヌ素数が知られており、そのうち38番目以降の15個がメガ素数である[6]。ほとんどの期間で、知られている最大の素数はメルセンヌ素数 (のいずれか) であった。これは、知られている大きな数の素数判定N + 1 あるいは N - 1素因数分解に基づいており、メルセンヌ数の場合は N + 1 の素因数分解がほとんど自明であったためである[7]

発見された数 Prime/PRP 発見された日付 桁数 出典
2136279841-1 Prime 2024年10月12日 41,024,320 [GIMPS 1]
282589933-1 Prime 2018年12月7日 24,862,048 [GIMPS 2]
277232917-1 Prime 2017年12月26日 23,249,425 [GIMPS 3]
274207281-1 Prime 2016年1月7日 22,338,618 [GIMPS 4]
257885161-1 Prime 2013年1月25日 17,425,170 [GIMPS 5]
243112609-1 Prime 2008年8月23日 12,978,189 [GIMPS 6]
242643801-1 Prime 2009年1月4日 12,837,064 [GIMPS 7]
237156667-1 Prime 2008年9月6日 11,185,272 [GIMPS 6]
232582657-1 Prime 2006年9月4日 9,808,358 [GIMPS 8]
230402457-1 Prime 2005年12月15日 9,152,052 [GIMPS 9]
225964951-1 Prime 2005年2月18日 7,816,230 [GIMPS 10]
224036583-1 Prime 2004年5月15日 7,235,733 [GIMPS 11]
220996011-1 Prime 2003年11月17日 6,320,430 [GIMPS 12]
213466917-1 Prime 2001年11月14日 4,053,946 [GIMPS 13]
26972593-1 Prime 1999年1月1日 2,098,960 [GIMPS 14]

プロス数

正の奇数 k2n > k を満たす n に対して、N = k·2n + 1 で表される数をプロス数 (: Proth number) と言う。

プロス素数の探索プロジェクトとしてProth Prime Searchがある。また、探索プロジェクトを持つようなプロス数のクラスには次のようなものがある:

発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典 備考
10223·231172165+1 Prime 2016年10月31日 9,383,761 [PrimeGrid 1]
202705·221320516+1 Prime 2021年11月25日 6,418,121 [PrimeGrid 2]
81·220498148+1 Prime 2023年6月13日 6,170,560 [Primes 1]
7·220267500+1 Prime 2022年7月21日 6,101,127 [Primes 2]
168451·219375200+1 Prime 2017年9月17日 5,832,522 [PrimeGrid 3]
7·218233956+1 Prime 2020年10月1日 5,488,969 [Primes 3] F18233954 の素因数
13·216828072+1 Prime 2023年10月11日 5,065,756 [Primes 4]
3·216408818+1 Prime 2020年10月25日 4,939,547 [PrimeGrid 4] 第2種サービト数
99739·214019102+1 Prime 2019年12月24日 4,220,176 [PrimeGrid 5]
19249·213018586+1 Prime 2007年3月26日[9] 3,918,990 [Primes 5]
193997·211452891+1 Prime 2018年4月3日 3,447,670 [PrimeGrid 6]
3·210829346+1 Prime 2014年1月14日 3,259,959 [PrimeGrid 7] 第2種サービト数
121·29584444+1 Prime 2020年11月18日 2,885,208 [PrimeGrid 8]
27653 · 29167433+1 Prime 2005年6月8日[9] 2,759,677 [Primes 6]
27·28342438+1 Prime 2021年2月1日 2,511,326 [PrimeGrid 9]
27·27963247+1 Prime 2021年1月14日 2,397,178 [PrimeGrid 10] F7963245 の素因数
28433 · 27830457+1 Prime 2004年12月30日[9] 2,357,207 [Primes 7]
161041·27107964+1 Prime 2015年1月6日 2,139,716 [PrimeGrid 11]
27·27046834+1 Prime 2018年10月11日 2,121,310 [PrimeGrid 12]
3·27033641+1 Prime 2011年2月21日 2,117,338 [PrimeGrid 13] 第2種サービト数
6679881·26679881+1 Prime 2009年7月25日 2,010,852 [PrimeGrid 14] カレン数
1582137·26328550+1 Prime 2009年4月20日 1,905,090 [PrimeGrid 15] カレン数
13·25523860+1 Prime 2020年1月22日 1,662,849 [PrimeGrid 16] F5523858 の素因数
27·25213635+1 Prime 2015年3月9日 1,569,462 [PrimeGrid 17]
3·25082306+1 Prime 2009年4月3日 1,529,928 [PrimeGrid 18] 第2種サービト数
121·24553899+1 Prime 2012年2月25日 1,370,863 [PrimeGrid 19]
193·23329782+1 Prime 2014年7月25日 1,002,367 [PrimeGrid 20] F3329780 の素因数

サービト数

自然数 n に対して 3·2n - 1 の形で表される数を、イスラムの数学者サービト・イブン・クッラの名前を冠してサービト数と言う。サービト数および第2種サービト数 (上述) である素数を探索するプロジェクトとして、321 Prime Searchが存在する。

発見された数 Prime/PRP 発見された日付 桁数 出典
3·220928756-1 Prime 2023年7月5日 6,300,184 [PrimeGrid 21]
3·218924988-1 Prime 2022年3月24日 5,696,990 [PrimeGrid 22]
3·218196595-1 Prime 2022年1月8日 5,477,722 [PrimeGrid 23]
3·217748034-1 Prime 2021年9月6日 5,342,692 [PrimeGrid 24]
3·216819291-1 Prime 2021年1月20日 5,063,112 [PrimeGrid 25]
3·211895718-1 Prime 2015年6月23日 3,580,969 [PrimeGrid 26]
3·211731850-1 Prime 2015年3月13日 3,531,640 [PrimeGrid 27]
3·211484018-1 Prime 2014年11月22日 3,457,035 [PrimeGrid 28]

一般化フェルマー数

3以上の整数 b に対して、GFb, n = b2n + 1 で表される数を、b を底とする一般化フェルマー数と言う。

PrimeGridGeneralized Fermat Prime Searchは、一般化フェルマー数のうち n ≧ 15 の範囲において素数を探索するプロジェクトである。2022年4月現在、Generalized Fermat Prime Searchは387個の一般化フェルマー素数であるメガ素数を発見している[注 2]

知られている一般化フェルマー素数 (抜粋)
発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典
19637361048576+1 Prime 2022年9月24日 6,598,776 [Primes 8]
19517341048576+1 Prime 2022年8月9日 6,595,985 [PrimeGrid 29]
10590941048576+1 Prime 2018年10月31日 6,317,602 [PrimeGrid 30]
9194441048576+1 Prime 2017年8月29日 6,253,210 [PrimeGrid 31]
4896418524288+1 Prime 2022年5月18日 3,507,424 [PrimeGrid 32]
3638450524288+1 Prime 2020年5月29日 3,439,810 [PrimeGrid 33]
9·211366286+1 Prime 2020年3月26日 3,421,594 [Primes 9]
3214654524288+1 Prime 2019年12月24日 3,411,613 [PrimeGrid 34]
2985036524288+1 Prime 2019年9月18日 3,394,739 [PrimeGrid 35]
2877652524288+1 Prime 2019年1月29日 3,386,397 [PrimeGrid 36]
2788032524288+1 Prime 2019年4月17日 3,379,193 [PrimeGrid 37]
2733014524288+1 Prime 2019年3月18日 3,374,655 [PrimeGrid 38]
2312092524288+1 Prime 2018年8月4日 3,336,572 [PrimeGrid 39]
2061748524288+1 Prime 2018年3月20日 3,310,478 [PrimeGrid 40]
1880370524288+1 Prime 2018年1月15日 3,289,511 [PrimeGrid 41]
知られている一般化フェルマー数の素因数 (抜粋)
発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典 備考
3·216408818+1 Prime 2020年10月25日 4,939,547 [PrimeGrid 4] 第2種サービト数
9·213334487+1 Prime 2020年3月21日 4,014,082 [Primes 10]
9·212406887+1 Prime 2020年3月29日 3,734,847 [Primes 11]
9·211500843+1 Prime 2020年3月13日 3,462,100 [Primes 12]
9·211158963+1 Prime 2020年3月13日 3,359,184 [Primes 13]
3·210829346+1 Prime 2014年1月14日 3,259,959 [PrimeGrid 7] 第2種サービト数
11·29381365+1 Prime 2020年3月7日 2,824,074 [Primes 14]
17·28636199+1 Prime 2021年2月17日 2,599,757 [PrimeGrid 42]
25·28456828+1 Prime 2021年1月27日 2,545,761 [PrimeGrid 43] 一般化フェルマー数

一般化カレン数

整数 bn+2 > b を満たす n について、n·bn + 1 の形で表される数を一般化カレン数という[14]

発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典
2525532·732525532+1 Prime 2021年8月28日 4,705,888 [PrimeGrid 44]
404849·213764867+1 Prime 2021年3月10日 4,143,644 [Primes 15]
2805222·55610444+1 Prime 2019年9月2日 3,921,539 [PrimeGrid 45]
1806676·411806676+1 Prime 2018年3月11日 2,913,785 [PrimeGrid 46]
1323365·1161323365+1 Prime 2018年1月18日 2,732,038 [PrimeGrid 47]
1341174·531341174+1 Prime 2017年8月21日 2,312,561 [PrimeGrid 48]
682156·79682156+1 Prime 2016年10月8日 1,294,484 [PrimeGrid 49]
298989·23886857+1 Prime 2014年12月31日 1,170,067 [Primes 16]

(一般化)ウッダル数

自然数 n に対して n·2n - 1 の形で表される数をウッダル数という。一般化カレン数と同様に、整数 bn+2 > b を満たす n について、n·bn - 1 の形で表される数を一般化ウッダル数という[15]

発見された数 Prime/PRP 発見/報告された日付 桁数 出典
8508301·217016603-1 Prime 2018年3月22日 5,122,515 [Primes 17]
396101·214259638-1 Prime 2024年2月3日 4,292,585 [Primes 18]
2740879·213704395-1 Prime 2019年10月26日 4,125,441 [Primes 19]
479216·38625889-1 Prime 2019年11月16日 4,115,601 [Primes 20]
874208·541748416-1 Prime 2019年9月26日 3,028,951 [Primes 21]
101806·151527091-1 Prime 2023年4月14日 1,796,004 [Primes 22]
499238·101497714-1 Prime 2019年9月16日 1,497,720 [Primes 23]
583854·141167708-1 Prime 2019年9月17日 1,338,349 [Primes 24]
1993191·23986382-1 Prime 2015年5月1日 1,200,027 [Primes 25]
938237·23752950-1 Prime 2007年12月26日 1,129,757 [Primes 26]

ワグスタッフ素数

素数 p に対して、

この項目は、に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めていますPJ:数学/数)。




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