Kynea数とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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Kynea数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 06:01 UTC 版)

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Kynea数とは、

4^{n}+2^{n+1}-1

一般化

b進Kynea数を、 (bⁿ + 1)² − 2 （n ≥ 1）と定義できる。b進Kynea数はbが奇数の場合には偶数であるため、bが偶数のときにのみKynea素数を持つ。

{(2b)ⁿ + 1}² − 2 が素数となるb進Kynea数の、最小の項は

1, 1, 1, 1, 22, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 24, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 6, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 8, 2, 1, 1, 2, 172, 1, 1, 354, 1, 1, 3, 29, 3, 423, 8, 1, 11, 1, 5, 2, 4, 11, 1, 6, 1, 3, 57, 24, 368, 1, 1, 1, 11, 19, 1, 3, 1, 13, 1, 12, 1, 41, 3, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 152, 1893, 1, 12, 6, 2, 1, 11, 1, 2, 1, 3, 14, 1, 2, 6, 2, 1, 1017, 3, 30, 6, 3, ...番目に現れる

b	(bⁿ+1)² − 2 が素数となるn (n が30000までは網羅)	OEIS
2	1, 2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 17, 18, 21, 23, 27, 32, 51, 65, 87, 180, 242, 467, 491, 501, 507, 555, 591, 680, 800, 1070, 1650, 2813, 3281, 4217, 5153, 6287, 6365, 10088, 10367, 37035, 45873, 69312, 102435, 106380, 108888, 110615, 281621, 369581, 376050, 442052, 621443, 661478, ...	A091513
4	1, 4, 6, 9, 16, 90, 121, 340, 400, 535, 825, 5044, 34656, 53190, 54444, 188025, 221026, 330739, ...
6	1, 2, 3, 4, 9, 12, 30, 49, 56, 115, 118, 376, 432, 1045, 1310, 6529, 7768, 8430, 21942, 26930, 33568, 50800, ...	A100902
8	1, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 17, 29, 60, 167, 169, 185, 197, 550, 12345, 15291, 23104, 34145, 35460, 36296, 125350, ...
10	22, 351, 1061, ...	A100904
12	1, 2, 8, 60, 513, 1047, 7021, 7506, 78858, ...
14	1, 5, 60, 72, 118, 181, 245, 310, 498, 820, 962, 2212, 3928, 5844, 5937, ...	A100906
16	2, 3, 8, 45, 170, 200, 2522, 17328, 26595, 27222, 110513, ...
18	1, 10, 21, 25, 31, 1083, 40485, ...
20	1, 15, 44, 77, 141, 208, 304, 1169, 3359, 5050, 22431, 34935, ...
22	3, 166, 814, 1851, 2197, 3172, 3865, 19791, ...	A100908
24	24, 321, 971, 984, ...
26	1, 2, 8, 78, 79, 111, 5276, 8226, 19545, 75993, ...
28	1, 2, 11, 15, 586, 993, 5048, 24990, ...
30	2, 3, 57, 129, 171, 9837, 30359, 157950, ...
32	1, 3, 13, 36, 111, 136, 160, 214, 330, 1273, 7407, 20487, 21276, 22123, 75210, ...
34	1, 2, 14, 29, 61, 146, 2901, 6501, 8093, ...
36	1, 2, 6, 15, 28, 59, 188, 216, 655, 3884, 4215, 10971, 13465, 16784, 25400, ...
38	6, 279, 3490, ...
40	2, 49, 144, 825, 2856, 2996, 5166, 7824, 9392, 40778, ...
42	1, 3, 4, 81, 119, 2046, 2466, 4020, 7907, 8424, 25002, ...
44	3, 195, 1482, 8210, 20502, 60212, 95940, ...
46	1, 54, 2040, 3063, ...
48	1, 207, 329, 1153, 4687, 13274, 25978, ...
50	4, 38, 93, 120, 4396, 11459, 25887, ...

2018年2月 (2018-02)現在^[update], b進Kynea数で知られている最大の素数は (30¹⁵⁷⁹⁵⁰ + 1)² − 2 である。

参考文献

^ Cletus Emmanuel's statement on Yahoo group PrimeNumbers
^ Entry for 661478th Kynea number at Prime Pages
^ Carol and Kynea Prime Search by Mark Rodenkirch

外部リンク

表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド（英語版） ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ（英語版） ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版） Highly cototient（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱（英語版）フルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple（英語版）いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上) 巨大な素数の一覧
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数四素合成数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔（英語版）
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧

自然数の類

冪数（累乗数）および関連概念

a \times 2 b \pm 1

の形

多項式数

キャロル数
ヒルベルト数（英語版）
Idoneal数（英語版）
キニア数
レイランド数
ローズチ数（英語版）
オイラーの幸運数（英語版）
レピュニット

漸化式から定められる数

フィボナッチ数
ヤコブスタール数（英語版）
レオナード数（英語版）
リュカ数
パドヴァン数（英語版）
ペル数
ペラン数

その他の特定の性質を持つ数の集合

特定の和を通じて表される数

非斜辺数（英語版）
台形数（英語版）
プラクティカル数
準素擬似完全数（英語版）
ウラム数
ウォルステンホルム数（英語版）

篩を通じて生成される数

幸運数

符号関連

メルテンス数（英語版）

図形数

二次元

中心つき多角数	中心つき三角数中心つき四角数中心つき五角数中心つき六角数中心つき七角数中心つき八角数中心つき九角数中心つき十角数（英語版）六芒星数
非中心多角数	三角数四角数平方三角数五角数六角数七角数八角数九角数十角数十二角数

三次元

中心つき多面体数（英語版）	中心つき四面体数中心つき立方体数中心つき八面体数中心つき十二面体数（英語版）中心つき二十面体数（英語版）
非中心多面体数（英語版）	四面体数八面体数十二面体数（英語版）二十面体数（英語版）星型八面体数（英語版）
角錐数（英語版）	四角錐数五角錐数六角錐数七角錐数（英語版）

四次元

中心	中心つき五胞体数（英語版）平方された三角数（英語版）
非中心	五胞体数

擬素数

カーマイケル数
カタラン擬素数
楕円擬素数
オイラー擬素数（英語版）
オイラー–ヤコビ擬素数（英語版）
フェルマー擬素数（英語版）
フロベニウス擬素数（英語版）
リュカ擬素数
ゾマー–リュカ擬素数（英語版）
強擬素数

組合せの数

ベル数
ケーキ数
カタラン数
デデキント数
デラノイ数（英語版）
オイラー数
フス–カタラン数（英語版）
怠け仕出し屋の数列
ロブ数（英語版）
モツキン数
ナラヤナ数（英語版）
順序ベル数（英語版）
シュレーダー数（英語版）
シュレーダー–ヒッパルコス数（英語版）

数論的関数

σ(n) の性質による	過剰数概完全数算術数（英語版）大規模過剰数（英語版）デカルト数（英語版）半完全数（英語版）高度過剰数高度合成数ハイパー完全数倍積完全数完全数プラクティカル数原始過剰数（英語版）準完全数タウ番号サブライム数超過剰数超高度合成数（英語版）超完全数アンタッチャブル数（英語版）
Ω(n) の性質による	概素数半素数
φ(n) の性質による	高度余トーシェント数（英語版）高度トーシェント数非余トーシェント（英語版）非トーシェント完全トーシェント数疎トーシェント数（英語版）
s(n) の性質による	友愛数婚約数不足数擬似完全数