ウィルソン素数

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ウィルソン素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/12 04:19 UTC 版)

ウィルソン素数（ウィルソンそすう、英: Wilson prime）とは、p² が (p − 1)! + 1 を割り切るような素数 p である。ここで "!" は階乗。任意の素数 p が (p − 1)! + 1 を割り切ることはわかっている（ウィルソンの定理）。名称はイングランドの数学者ジョン・ウィルソン（英語版）にちなむ。

既知のウィルソン素数は 5, 13, 563 のみである（オンライン整数列大辞典の数列 A007540）。もしこれ以外のウィルソン素数が存在すれば、それは 2×10¹³ より大きくなければならない^[1]。ウィルソン素数は無限個存在し、さらに区間 [x, y] に約 log(log(y)/log(x)) 個存在すると予想されている^[2]。

新たなウィルソン素数を発見すべく、コンピュータによる探索が幾度か行われた^[3][4][5]。Ibercivis（英語版）分散コンピューティングにはウィルソン素数の探索も含まれており^[6]、また mersenneforum.org でも探索の連携が行われている^[7]。

一般化

オーダー n のウィルソン素数

ウィルソンの定理はより一般に、任意の整数 n ≥ 1 と素数 p ≥ n に対し

${\displaystyle (n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ ({\bmod {p}})}$