算術級数定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/01/26 04:05 UTC 版)
d , k {\displaystyle d,k} を互いに素な整数とするとき、算術級数 d + k n {\displaystyle d+kn} が無数の素数を含むことを示す。エル函数のオイラー乗積表示の対数を取り、 log L ( s , χ ) = log ∏ p 1 1 − χ ( p ) p − s = ∑ p ∑ n ≥ 1 χ ( p n ) p n s ( s > 1 ) = ∑ p χ ( p ) p s + O ( 1 ) = ∑ j = 1 d χ ( j ) ∑ p ≡ j 1 p s + O ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\log {L(s,\chi )}&=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n\geq 1}{\frac {\chi (p^{n})}{p^{ns}}}\qquad (s>1)\\&=\sum _{p}{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}+O(1)\\&=\sum _{j=1}^{d}\chi (j)\sum _{p\equiv {j}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\\\end{aligned}}} である。 χ ¯ ( k ) {\displaystyle {\overline {\chi }}(k)} を乗して総和を取り、ディリクレ指標の直交性により、 ∑ χ χ ¯ ( k ) log L ( s , χ ) = ∑ χ ∑ j = 1 d χ ¯ ( k ) χ ( j ) ∑ p ≡ j 1 p s + O ( 1 ) ( s > 1 ) = ∑ χ ∑ j = 1 d χ ( j k ¯ ) ∑ p ≡ j 1 p s + O ( 1 ) = φ ( d ) ∑ p ≡ k 1 p s + O ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\chi }{\overline {\chi }}(k)\log {L(s,\chi )}&=\sum _{\chi }\sum _{j=1}^{d}{\overline {\chi }}(k)\chi (j)\sum _{p\equiv {j}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\qquad (s>1)\\&=\sum _{\chi }\sum _{j=1}^{d}\chi (j{\overline {k}})\sum _{p\equiv {j}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\\&=\varphi (d)\sum _{p\equiv {k}}{\frac {1}{p^{s}}}+O(1)\\\end{aligned}}} である。但し、 χ ¯ ( k ) {\displaystyle {\overline {\chi }}(k)} は χ ( k ) {\displaystyle \chi (k)} の複素共役を表す。補題により、 L ( s , χ 0 ) {\displaystyle L(s,\chi _{0})} は s = 1 {\displaystyle s=1} に極を持ち、他の L ( s , χ ) {\displaystyle L(s,\chi )} は s = 1 {\displaystyle s=1} で正則であり、且つ、 L ( 1 , χ ) ≠ 0 {\displaystyle L(1,\chi )\neq 0} であるから、左辺は s = 1 {\displaystyle s=1} で有界ではない。従って、右辺も s → 1 + {\displaystyle s\to 1+} で発散しなければならず、そのためには p ≡ a k {\displaystyle p\equiv {a_{k}}} となる素数が無数に存在しなければならない。
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