算術的内包公理 ACA0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 05:20 UTC 版)
ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} に算術的内包公理を付け加えた体系である。 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は、任意の算術的論理式を満たす自然数の集合の存在を示す。実際、算術的内包公理を得るために、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} にΣ1論理式の内包公理を追加したものである。 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} の1階部分はペアノ算術と同じである。つまり ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は算術的な定理についてはにペアノ算術と証明能力は同じである。また、両者は無矛盾性については等価である。 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は、可述的数学のほとんどを展開することができ、古典的数学の基本的な定理の多くを証明することができる。 算術的集合を含まない WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} のモデルが存在するので、 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} よりも強いことが示される。実際、低基底定理を使った低集合を含むような WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} のモデルは構成不可能。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} 上で次と ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は同値。 実数全体の集合の点列コンパクト性（有界で単調増加な任意の実数列は極限を持つ）。 ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理。 アスコリの定理: 単位閉区間上の任意の有界で同程度連続な実関数列は一様収束する部分列を持つ。 任意の可算可換環は極大イデアルを持つ。 有理数体（もしくは任意の可算体）上の任意の可算ベクトル空間は基底を持つ。 任意の可算体は超越基底を持つ。 （任意の有限分岐木に対する、弱でない）ケーニヒの補題。 ラムゼーの定理の一形態などを例とする組合せ論の諸定理。
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