2階算術の5つの基本的部分体系(Big Five)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/03 13:45 UTC 版)
「逆数学」の記事における「2階算術の5つの基本的部分体系(Big Five)」の解説
2階算術の部分体系 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} 、 WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} 、 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} 、 ATR 0 {\displaystyle {\mbox{ATR}}_{0}\,} 、 Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-CA}}_{0}\,} は, Big Fiveと呼ばれ、逆数学において頻繁に扱われるものである。 次は"big five"の特徴である。Simpson (2009, p.42)参照。 部分体系名称の由来証明論的順序数対応する哲学的原理備考 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} Recursive comprehension axiom(再帰的内包公理) ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }\,} 構成的数学 (Bishop) 逆数学の基本体系 WKL 0 {\displaystyle {\mbox{WKL}}_{0}\,} Weak König's lemma(弱ケーニッヒの補題) ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }\,} 有限還元 (Hilbert) PRA上で Π 2 0 {\displaystyle \Pi _{2}^{0}\,} 文を、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} 上で Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 文を保存する。 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} Arithmetical comprehension axiom(算術的内包公理) ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,} 可述主義 (Weyl, Feferman) ペアノ算術上で算術的文を保存する。 ATR 0 {\displaystyle {\mbox{ATR}}_{0}\,} Arithmetical transfinite recursion(算術的超限再帰) Γ 0 {\displaystyle \Gamma _{0}\,} 可述的還元主義 (Friedman, Simpson) フィッファーマン体系IR上で Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 文を保存する。 Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-CA}}_{0}\,} Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} comprehension axiom ( Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 内包公理) Ψ 0 {\displaystyle \Psi _{0}\,} ( Ω ω {\displaystyle \Omega _{\omega }\,} ) 非可述主義 なお, Big Fiveの名前についている 0 {\displaystyle {}_{0}\,} は帰納法の図式が制限されていることを意味する。例えば、 ACA 0 {\displaystyle {\mbox{ACA}}_{0}\,} は算術的論理式についての帰納法しか持たない。帰納法を制限した体系は、一般の2階算術の論理式についての帰納法をもつ体系に比べ、大幅に小さい証明論的順序数を持つ。
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