2階線型微分方程式による証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/03 14:17 UTC 版)
「オイラーの公式」の記事における「2階線型微分方程式による証明」の解説
証明 — 2階線型微分方程式を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数 { y = e i x y = cos x y = sin x {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle y=e^{ix}\\\displaystyle y=\cos x\\\displaystyle y=\sin x\end{cases}}} (1) はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。 d 2 y d x 2 + y = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{{\mathrm {d} x}^{2}}}+y=0.} (2) (2) は斉次な方程式なので、一般解は基本解の線型結合として表すことができる。cos x と sin x は (2) の基本解である。実際、ロンスキー行列式 | cos x sin x − sin x cos x | = cos 2 x + sin 2 x = 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{vmatrix}}=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1} は 0 にならない。よって、(1) および (2) より e i x = C 1 cos x + C 2 sin x {\displaystyle e^{ix}=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x} (3) が成立する。また、(3) の両辺を微分したものは i e i x = − C 1 sin x + C 2 cos x {\displaystyle ie^{ix}=-C_{1}\sin x+C_{2}\cos x} (4) となる。(3), (4) に x = 0 を代入したものはそれぞれ、 1 = C 1 i = C 2 {\displaystyle {\begin{aligned}1=C_{1}\\i=C_{2}\end{aligned}}} (5) となるので、(5) より (3) の線型結合はオイラーの公式を与える。 e i x = cos x + i sin x . {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
※この「2階線型微分方程式による証明」の解説は、「オイラーの公式」の解説の一部です。
「2階線型微分方程式による証明」を含む「オイラーの公式」の記事については、「オイラーの公式」の概要を参照ください。
- 2階線型微分方程式による証明のページへのリンク
