2階算術の使用とは? わかりやすく解説

2階算術の使用

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/19 05:20 UTC 版)

逆数学」の記事における「2階算術の使用」の解説

逆数学2階算術部分体系において研究されることが多い。その場合、数学的対象自然数自然数集合によって形式化なければならない例えば、自然数ペア1つ自然数として表現することができ、自然数ペアによって有理数表現する有理数集合(これは結局自然数集合として表現される)によって有理数の列を表現し有理数の列のうちコーシー列あるようなものによって実数表現することができる。逆数学研究においては、弱い部分体であって数学的対象形式化できる程度には強い体系基本体系として用いる。 逆数学集合論ではなく2階算術用いるのは、弱い部分体であって数学的対象形式化できる程度には強い体系2階算術では自然に定義することができるからである。 2階算術を使う場合数学定理制限しなければならない例えば、2階算術では一般のベクトル空間表現できない。そのため"すべてのベクトル空間基底をもつ"という一般的な原理表現できないが、"すべての可算ベクトル空間基底をもつ"という原理表現することができる。同様に代数定理対象可算な群や環や体についてのものになる。また、距離空間対象とする解析位相定理は、実数有理数コーシー列によって表現したのと同様の手法により、可分距離空間について考察することができる。なお、定理可算なものに制限した場合、本来の定理とその強さが全く異な場合がある。例えば、"すべての体は代数的閉体をもつ"はZF集合論では証明できないが、"すべての可算な体は代数的閉体をもつ"と制限すれば、非常に弱い弱い形式体系である RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} でも証明することができる。

※この「2階算術の使用」の解説は、「逆数学」の解説の一部です。
「2階算術の使用」を含む「逆数学」の記事については、「逆数学」の概要を参照ください。

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