逆数学
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逆数学（ぎゃくすうがく）とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。
逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析学の結果を反映している。
逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。
一般的な原理
逆数学は、フレームとなる言語と基本的な公理からはじめる。例えば、“すべての実数の有界な列は上限をもつ”という定理の研究には、実数と実数の列を定義する公理が必要となる。
基本体系において証明できない定理からはじめて、定理を証明するのに必要な(基本体系よりも強い)公理を決定することを目標とする。定理
逆数学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:44 UTC 版)
逆数学のプログラムは、二階算術の中の部分体系において、ある定理を証明するのにどの程度の集合存在公理が必要かを問うものである。この研究は Harvey Friedman が創始し、Stephen Simpson らが進めた。Simpson（1999）で、これに関する詳細が議論されている。対象となる集合存在公理は、自然数のべき集合が様々な還元可能性の概念の下で閉じていることを言う公理群とほぼ対応している。逆数学で研究されているそのような公理の中で最も弱いものは「再帰的内包公理; Recursive Comprehension Axiom」であり、これは自然数のべき集合はチューリング還元可能性の下で閉じているとするものである。
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