Π11内包公理 Π11-CA0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 05:20 UTC 版)
「逆数学」の記事における「Π11内包公理 Π11-CA0」の解説
Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\text{-CA}}_{0}\,} は、 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} に Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}\,} 論理式に関する内包公理を追加した体系である。 Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\text{-CA}}_{0}\,} は非可述的な体系である。 Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\text{-CA}}_{0}\,} と ATR 0 {\displaystyle {\text{ATR}}_{0}\,} の関係は、 ACA 0 {\displaystyle {\text{ACA}}_{0}\,} と WKL 0 {\displaystyle {\text{WKL}}_{0}\,} の関係に似ている。 Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\text{-CA}}_{0}\,} は、記述的集合論における強い非可述的論法によって証明される定理と同値になる。この同値性はこれらの非可述的論法が取り除けないことを示している。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} で、 Π 1 1 -CA 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mbox{-CA}}_{0}\,} と次の定理が同値であることが証明できる。 カントール＝ベンディクソンの定理（実数から成る任意の閉集合は完全集合と可算集合の和集合として書ける）。 任意の可算アーベル群は可除群と被約群の直和として書ける。
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