線形演算子

デジタル大辞泉

せんけい‐えんざんし【線形演算子】

読み方：せんけいえんざんし

あるベクトル空間の元xと他のベクトル空間の元yに対し、y＝Lxとする演算子Lのうち、任意の数a、bに対して、L（ax＋by）＝aLx＋bLyが常に成り立つもの。線形作用素。

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作用素 (関数解析学)

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数学における作用素（さようそ、英: operator）は、しばしば写像、函数、変換などの一般化として用いられる^[1]。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の（必ずしも写像でない部分写像の意味での）線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり（同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子（えんざんし）と呼ぶ）、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。定義されているベクトル空間の係数体に値をとる作用素は汎函数（はんかんすう、functional）と呼ばれる。

また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。

定義

U, V を共通の係数体 K をもつ線型空間とする。このとき U から V への部分写像、すなわち部分集合 D ⊆ U 上で定義された V への写像 T を D 上の作用素という^[2]。単に U から V への作用素とも呼ぶ。部分集合 D は定義域、部分集合 ${\displaystyle R=\{\,Tx\mid x\in D\,\}}$