再帰的内包公理 RCA0
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/19 05:20 UTC 版)
RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} は、「ロビンソン算術の公理」＋「 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}\,} 論理式に対する帰納法の公理」＋「 Δ 1 0 {\displaystyle \Delta _{1}^{0}\,} 論理式に対する内包公理」からなる部分体系である。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} は逆数学で最も多用される体系である。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} は"再帰的内包公理"と呼ばれ、"再帰的"とは"計算可能"を意味している。この名称は RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} が"計算可能性数学"に類似しているからである。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} で存在が証明可能な自然数の集合は計算可能である、よって計算不可能な集合の存在は RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} で証明できない。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} はBig Fiveで最弱だが、古典的数学の対象を形式化できる。また、以下の定理が証明可能である。 自然数全体、整数全体、有理数全体の成す集合の基本性質(例えば、有理数全体が順序体を成すこと)。 実数全体の成す集合の基本性質(実数全体がアルキメデス順序体であること、長さが0に近付く任意の包含閉区間列の交叉が1点のみからなること、実数は非可算であること)。 完備可分距離空間におけるベールの範疇定理。 実連続関数における中間値の定理。 可分バナッハ空間における連続線形演算子の列に関するバナッハ–シュタインハウスの定理。 弱いゲーデルの完全性定理。 可算な体での代数的閉体の存在(一意性は除く)。 可算な順序体の実閉体の存在と一意性。 RCA 0 {\displaystyle {\mbox{RCA}}_{0}\,} の1階部分は、 I Σ 1 {\displaystyle {\mbox{I}}\Sigma _{1}\,} （ペアノ算術の帰納法を Σ 1 {\displaystyle \Sigma _{1}\,} 論理式に制限した体系）と一致する。
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