存在と一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/19 00:12 UTC 版)
K[X]/(P(X)) の構成は、根体の存在を保証し、ほかの任意の根体がこれに同型であるという性質はその一意性を示している。P の根を含む K の拡大体に関する研究は、K[X]/(P(X)) 上で有効である。すなわち、以下の定理を得た: 定理 (根体の一意存在) P が体 K 上の n-次既約多項式ならば、同型の違いを除いてただ一つ（フランス語版） P の根体 K[X]/(P(X)) が存在（フランス語版）する。さらに言えば、これは拡大次数 n の拡大体であって、P の根を含む K の任意の拡大体が、根体を中間拡大体として含む。 ここに、多項式 P の既約性は、多項式の根を含む最小の拡大体の一意性を言うために必要である。実際、K 上の次数の相異なる二つの既約多項式の積に対し、その各既約因子の根を添加する拡大は、上で述べたように K 上相異なる拡大次数を持つ拡大体を定めるから、それらは互いに同型でない。次数が同じである場合も同型でないことは起こりうる。例えば、多項式 P(X) = X4 – X2 – 2 = (X2 + 1)(X2 – 2) は ℚ 上で P の根を含む二つの次数最小の拡大体 ℚ[i] および ℚ[√2] を持ち、これらは互いに同型でない。
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存在と一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)
「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「存在と一意性」の解説
擬似逆行列は存在し、一意に定まる：任意の行列 A に対して、定義の4つの条件を満たす行列 A + {\displaystyle A^{+}} が唯一つ存在する。 定義の最初の条件 AA−A = A を満たす行列 A− は、 行列 A の一般逆行列（generalized inverse）として知られている。定義の二条件 AA×A = A と A×AA× = A× を満たす行列 A× は、行列 A の反射形一般逆行列（reflexive generalized inverse）と呼ばれる。一般逆行列は常に存在するが、一般に一意に定まらない。一意性は、最後の2つの条件から導かれる。
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存在と一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/29 16:05 UTC 版)
双対集合は常に存在し、V から V * への単射、すなわち、vi を vi へ送る線形写像を与える。これは特に、双対空間 V * の次元は V の次元以上であることを意味する。 しかしながら、無限次元の V に対して双対集合 B * は V * を張らない。例えば、すべての i ∈ I に対して f(vi) = 1 で定義される線型汎関数 f : V → F を考える。これは明らかに、すべての vi 上でゼロでない。もし f が vi の（有限）線型結合ならば——すなわち、I のある有限部分集合 K とスカラー αi によって ∑ i ∈ K α i v i {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}} と表せるならば—— K に含まれない任意の j に対して f ( v j ) = ( ∑ i ∈ K α i v i ) ( v j ) = 0 {\displaystyle \textstyle f(v_{j})=\left(\sum _{i\in K}\alpha _{i}v^{i}\right)(v_{j})=0} が成立するが、これは f の定義に矛盾する。したがって f は双対集合 B * の線型包に属さない。 無限次元空間の双対は、もとの空間よりもより高い次元（高次無限濃度）を持ち、したがって同一の添字集合を備えるような双対空間の基底は存在しない。しかしながら、ベクトルの双対集合は存在し、それはもとの空間と同型であるようなその双対空間の部分空間を定義する。さらに、線型位相空間に対し、連続的双対空間を定義することが出来、そのような場合には双対基底は存在し得る。 有限次元ベクトル空間 有限次元ベクトル空間の場合、双対集合は常に双対基底であり、各基底に対して一意的である。それらの基底を B = {e1, …, en} および B * = {e1, …, en} と表す。ベクトル ej の余ベクトル ei による評価をペアリング ⟨ei, ej⟩ = ei(ej) で表すとき、二重直交性の条件は次のようになる： ⟨ e i , e j ⟩ = δ j i . {\displaystyle \left\langle \mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{j}\right\rangle =\delta _{j}^{i}.} このことは、「ベクトルのペアリング」を「対応する余ベクトルによる評価」と定義することによって、ドット積（内積）を定義することに繋がる。基底ベクトルに対して、これは e i ⋅ v := ⟨ e i , v ⟩ , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot v:=\left\langle \mathbf {e} ^{i},v\right\rangle ,} を意味し、基底ベクトルは e i ⋅ e j = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}} を満たす。 ここで、前述のデルタの上付き添字と下付き添字の記号は、通常、余ベクトルを使っているものとベクトルあるいは二つのベクトルを符合させるために変化するものである。形式的に言えば、 δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}} は反変計量テンソル、 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} は共変計量テンソルと見なされ、これは添字の上げ下げ（英語版） の最も簡単な例である。 ある双対基底と基底の組合せは、V の基底の空間から V * の基底の空間への写像を与え、これはまた同型でもある。実数のような位相体に対して、双対の空間は位相空間であり、これはそれらの空間の基底のスティーフェル多様体（英語版）の間の位相同型を与える。 有限次元においては、二重直交性の条件は双対の各元に対し n 個の線型独立条件を課すことが代替的に分かる（なぜならば、n 個の基底ベクトルが存在し、それらは線型独立であるからである）。したがって、双対空間の次元は n であることにより、その双対集合の各元は一意的に定められる。 ある n 次元ベクトル空間 V 上の双対ベクトルの作用については、V の元を n×1 の列ベクトルと見なし、双対空間 V * の元を 左行列乗算（英語版）による線型汎関数として作用する 1×n の行ベクトルと見なすことで分かる。
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存在と一意性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/02 05:56 UTC 版)
集合論における標準的な構成によって、ペアノシステムの条件を満たす集合が存在することを示せる。まず、後者関数を定義する; 任意の集合 a に対してその後者を suc(a) := a ∪ {a} と定義する。集合 A が後者関数に関して閉じているとき、つまり 「a が A の元であるならば suc(a) も A の元である」が成り立つときに、 A は帰納的集合であるという。ここで、次のように定義する。 0 := ∅ = { } {\displaystyle 0:=\emptyset =\{\}} N := 0 を含むあらゆる帰納的集合の共通部分 suc := 後者関数のNへの制限 この集合 N を自然数全体の集合といい、これは時々（特に順序数に関する文脈で）ギリシャ文字の ω と表記される。 無限集合の公理は 0 を含む帰納的集合の存在を主張しているので、ここでの N の定義に問題はない。自然数のシステム (N, 0, suc) はペアノの公理を満たすことが示される。 前述したsucの構成法の定義より、それぞれの自然数を明記しようとするならば、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。即ち、 0 = { } {\displaystyle 0=\{\}} 1 = suc ( 0 ) = { 0 } {\displaystyle 1=\operatorname {suc} (0)=\{0\}} 2 = suc ( 1 ) = { 0 , 1 } = { 0 , { 0 } } {\displaystyle 2=\operatorname {suc} (1)=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}} 3 = suc ( 2 ) = { 0 , 1 , 2 } = { 0 , { 0 } , { 0 , { 0 } } } {\displaystyle 3=\operatorname {suc} (2)=\{0,1,2\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}} 等々である。この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる。 これは可能なペアノシステムの構成法として唯一のものではない。例えば、集合 N = {0, 1, 2, ...} の構成と上記の後者関数 suc を仮定して、X := {5, 6, 7, ...}, x := 5, と f := X 上に限定した後者関数、と定義したならば、これもまたペアノシステムである。 5 ↦ 6 ↦ 7 ↦ 8 ↦ ⋯ {\displaystyle 5\mapsto 6\mapsto 7\mapsto 8\mapsto \dotsb } 二つのペアノシステム (X, x, f) と (Y, y, g) は次の条件を満たす全単射 φ: X→Y が（唯一つ）存在するときに同型であるという: φ(x) = y X の任意の元 a に対して φ(f(a)) = g(φ(a)) 一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理）二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる。 ラムダ計算はペアノの公理を満たす自然数の、異なる構成法を与える。
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