逆函数や陰伏函数として定める
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 04:53 UTC 版)
「関数 (数学)」の記事における「逆函数や陰伏函数として定める」の解説
函数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が全単射とは、Y の各元 y に対し、X の元 x がちょうど一つ（少なくとも一つ、かつ、高々一つ）存在して y = f(x) と書けることであった。この場合、f の逆函数 f − 1 : Y → X {\textstyle f^{-1}\colon Y\to X} が、任意の y ∈ Y を y = f(x) を満たす x ∈ X に写す函数として定まる。例えば自然対数函数は正の実数全体の成す集合から実数全体の成す集合への全単射であるから、逆を持ち、それは指数函数と呼ばれる実数全体から正の実数全体への函数である。 函数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が全単射でなくとも、適当な部分集合 E ⊆ X {\displaystyle E\subseteq X} および F ⊆ Y {\displaystyle F\subseteq Y} を選んで、f の E への制限が E から F への全単射となり、その意味での逆函数を持つということは起こり得る。逆三角函数はこのような仕方で定義される。 より一般に、ふたつの集合 X, Y の間の二項関係 R が与えられ、X の部分集合 E は各元 x ∈ E に対して適当な y ∈ Y が存在して x R y とできるものとする。どの x ∈ E に対してそのような y ∈ Y をひとつ選び出す判定法がわかっているものとすれば、函数 f : E → Y {\displaystyle f\colon E\to Y} を定義することができ、関係 R から陰伏的に定まるとの意味で陰函数と呼ぶ。 陰函数定理は点の近傍における陰函数の存在と一意性を保証する緩やかな可微分性条件を提供するものである。
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