逆写像の微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
次に、（弱いほうの）逆写像定理（逆関数定理）を示す。 E {\displaystyle {\textbf {E}}} を R m {\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}} の開集合とし、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} は、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} の値域を含む（つまり、 f ( D ) ⊂ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}} 、特に f ( p ) ∈ E {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}} とする）とする。多変数ベクトル値関数 g ( x ) = ( g 1 ( x ) ⋮ g m ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {x} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)} (3-26) は、 E {\displaystyle {\textbf {E}}} で定義され、 R m {\displaystyle {{\mathbb {R} }^{m}}} に値をとるとする。さらに、 g {\displaystyle {\textbf {g}}} が f {\displaystyle {\textbf {f}}} の逆写像、つまり g = {\displaystyle \mathbf {g} =} f − 1 {\displaystyle {{\mathbf {f} }^{-1}}} (3-27) とする。このとき、 ( J f − 1 ) [ f ( p ) ] = ( ( J f ) [ p ] ) − 1 {\displaystyle {{(J{{\mathbf {f} }^{-1}})}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}={{\left({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\right)}^{-1}}} (3-28) が成立する。標語的にいえば、「逆写像のヤコビ行列は、元の写像の逆行列」である。これは、(3-7)の特殊な例に過ぎない。
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