多変数ベクトル値関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「多変数ベクトル値関数」の解説
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に標準座標系 ⟨ x 1 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } が定まっているとし、 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に標準座標系 ⟨ y 1 , ⋯ , y m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle } が定まっているとする。 D {\displaystyle {\textbf {D}}} を R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の部分集合とし、 f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)} (1-1) を、 D {\displaystyle {\textbf {D}}} 上で定義された R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} に値を取る多変数ベクトル値関数という。 以降 f i {\displaystyle f_{i}} は f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分を表す。 f i {\displaystyle f_{i}} は以下の性質を満たす。 f i ( x ) = y i ∘ f ( x ) = y i ( f ( x ) ) = ⟨ e i | f ( x ) ⟩ {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=y_{i}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))=\langle \mathbf {e} _{i}|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle } (1-11) f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) = ∑ i = 1 m f i ( x ) e i {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}
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