標準座標系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
次に R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} の標準座標系を定義する。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に対し、 r j ( x ) = ⟨ x | e j ⟩ {\displaystyle {\textit {r}}_{j}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} \ |\ \mathbf {e} _{j}\rangle } (1-6) とし、これを R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の第 j 座標関数という。ここで ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は内積を表す。つまり、 r j ( ( x 1 ⋮ x n ) ) = x j {\displaystyle {\textit {r}}_{j}\left(\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\right)=x_{j}} (1-7) である。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 標準座標系とは、 r 1 , r 2 , ⋯ , r n {\displaystyle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}} の組 ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle } のことである。当然、 x = ( x 1 ⋮ x n ) = ∑ j = 1 n r j ( x ) e j {\displaystyle {\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{j=1}^{n}r_{j}(\mathbf {x} ){\textbf {e}}_{j}} (1-9) が成立する。 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} にも、同様に、 e 1 ⋯ , e m {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\cdots ,\mathbf {e} _{m}} や、標準座標系 ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle } が定まっている。 さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 ( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ) の標準座標系を ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle } と表記し、値域側 ( R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} ) の標準座標系も ⟨ r 1 , r 2 , ⋯ , r m ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle } と表記していては紛らわしいので、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} の標準座標系を ⟨ x 1 , x 2 , ⋯ , x n ⟩ {\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},{\textit {x}}_{2},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle } と書くことにする。つまり、 x j ( x ) = r j ( x ) y i ( y ) = r i ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{j}(\mathbf {x} )=r_{j}(\mathbf {x} )\\&y_{i}(\mathbf {y} )=r_{i}(\mathbf {y} )\end{aligned}}} (1-10) とする。以降、「 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} に、標準座標系 ⟩ x 1 , ⋯ , x n ⟨ {\displaystyle \rangle x_{1},\cdots ,x_{n}\langle } が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。
※この「標準座標系」の解説は、「多変数の微分」の解説の一部です。
「標準座標系」を含む「多変数の微分」の記事については、「多変数の微分」の概要を参照ください。
- 標準座標系のページへのリンク
