標準形の存在証明

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標準形の存在証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 06:14 UTC 版)

「ジョルダン標準形」の記事における「標準形の存在証明」の解説

定理 任意の線形変換 f に対しジョルダン基底は存在する。 証明は線形空間の次元 n = dim ⁡ V についての帰納法で、 n = 1 ならすべての基底がジョルダン基底だからOK、 n − 1 までOKとして、 n = dim ⁡ V とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。 補題 { e i j } が f のジョルダン基底なら、 f − λ 1 V のジョルダン基底でもある。ここで λ は任意のスカラー。 この補題により rank ⁡ f = r < n {\displaystyle \operatorname {rank} f=r s {\displaystyle i>s} なら λ i ≠ 0 {\displaystyle \lambda _{i}\neq 0} となるようにとる。 e 11 , e 21 , … , e s 1 {\displaystyle e_{11},e_{21},\dotsc ,e_{s1}} は ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} の元で線形独立だから、これらに b 1 , b 2 , … , b n − r − s {\displaystyle b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{n-r-s}} を加えて ker ⁡ f {\displaystyle \ker f} の基底を作る。また V {\displaystyle V} の元 c 1 , c 2 , … , c s {\displaystyle c_{1},c_{2},\dotsc ,c_{s}} を f ( c i ) = e i n i {\displaystyle f(c_{i})=e_{in_{i}}} となるようにとる。このとき n {\displaystyle n} 個のベクトル { e i j } ∪ { b i } ∪ { c i } {\displaystyle \{e_{ij}\}\cup \{b_{i}\}\cup \{c_{i}\}} が線形独立であることは容易にわかり、これらは V {\displaystyle V} の基底である。 c i = e i n i + 1 ,   b i = e k + i 1 {\displaystyle c_{i}=e_{in_{i}+1},\ b_{i}=e_{k+i1}} と番号づけると、これが f {\displaystyle f} のジョルダン基底となる。[証明終わり] V = K n {\displaystyle V=K^{n}} で f {\displaystyle f} が行列 A = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})} で表されるとき、 rank ⁡ A = r {\displaystyle \operatorname {rank} A=r} なら、 a 1 , a 2 , … , a r {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}} が線形独立としてよい。このとき A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}{A_{11}}&{A_{12}}\\{A_{21}}&{A_{22}}\end{bmatrix}}} は行変形で [ E r R 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{E_{r}}&R\\0&0\end{bmatrix}}} と簡約化される。 命題 上のとき、 a 1 , a 2 , … , a r {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}} は V ′ {\displaystyle V'} の基底であるが、この基底に関する f ′ {\displaystyle f'} の表現行列は A 11 + R A 21 {\displaystyle A_{11}+RA_{21}} である。 命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。