標準座標空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 08:09 UTC 版)
数ベクトル空間 Kn には標準基底 (canonical basis, standard basis) e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) , e 3 = ( 0 , 0 , 1 , … , 0 ) , ⋮ e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,0,\ldots ,0),\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,0,\ldots ,0),\\\mathbf {e} _{3}&=(0,0,1,\ldots ,0),\\&\ \vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,0,\ldots ,1)\\\end{aligned}}} が存在して、Kn の任意のベクトルは ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 0 n x i e i {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=0}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}} という線型結合の形に書き表すことができる。標準基底は明らかに Kn の基底であり、Kn は K 上のベクトル空間として n-次元である。 標準内積 ( x 1 , x 2 , … , x n ) ⋅ ( y 1 , y 2 , … , y n ) := x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\cdot (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}):=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}
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