標準形の導出と計算とは? わかりやすく解説

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標準形の導出と計算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2019/04/12 15:16 UTC 版)

ヘッセ標準形」の記事における「標準形の導出と計算」の解説

注 簡単のため以下では三次元の場合述べるが、同様のことは二次元あるいは高次元の場合でもほとんどそのまま通用する法線標準形方程式 ( r → − a → ) ⋅ n → = 0 {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0} は位置ベクトル a→ をもつ任意の点 A を通り、n→ を法ベクトルとする平面 E を表す。法ベクトル向きは a→⋅n→ ≥ 0 を満たすものと仮定する法ベクトルその大きさ n := || n→ || で割って単位法ベクトル n→0 = n→/n を得れば、式は ( r → − a → ) ⋅ n → 0 = 0 {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}_{0}=0} となるから、d := a→⋅n→0 ≥ 0 と置けばヘッセ標準形 r → ⋅ n → 0 − d = 0 {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0} を得る。 図において、d は原点からの距離になる。実際、r→⋅n→0 = d はこの平面上の任意の点が満足するのだから、特に原点から平面 E に下ろした垂線の足 Q も、r→ = r→s の場合として満足する点乗積の定義によれば d = r → s ⋅ n → 0 = | r → s | ⋅ | n → 0 | ⋅ cos ⁡ ( 0 ∘ ) = | r → s | ⋅ 1 = | r → s | {\displaystyle d={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}_{0}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s}|} であって、r→s の大きさ || r→s || は原点からこの平面結んだ最短距離等しいのであった

※この「標準形の導出と計算」の解説は、「ヘッセ標準形」の解説の一部です。
「標準形の導出と計算」を含む「ヘッセ標準形」の記事については、「ヘッセ標準形」の概要を参照ください。

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