ジョルダン標準形
ジョルダン標準形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:53 UTC 版)
「広義固有ベクトル」の記事における「ジョルダン標準形」の解説
詳細は「ジョルダン標準形」を参照 V を n 次元ベクトル空間とする；φ を V から自身への線型写像全体の集合 End(V) の元とする；A をある基底に関する φ の行列表示とする．次のことを示すことができる．A の特性多項式 f(λ) が一次式に分解して f ( λ ) = ± ( λ − λ 1 ) μ 1 ( λ − λ 2 ) μ 2 ⋯ ( λ − λ r ) μ r {\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}} の形，ただし λ 1 , λ 2 , … , λ r {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}} は A の相異なる固有値，になれば，各 μi は対応する固有値 λi の代数的重複度であり，A はジョルダン標準形の行列 J に相似である，ただし各 λi は対角線上連続した μi 回現れ，各 λi の上（すなわち優対角（英語版））の各成分は 0 または 1 である；各 λi の最初の出現の上の成分はつねに 0 である．すべての他の成分は 0 である．行列 J は A の対角化にできるだけ近い．A が対角化可能ならば，対角線の上のすべての成分は 0 である．教科書によっては優対角成分ではなく 劣対角成分（英語版）, すなわち主対角線の直下に 1 たちがあることに注意．固有値はなお主対角線にある． すべての n × n 行列 A は相似変換 J = M−1AM によって得られるジョルダン標準形の行列 J に相似である，ただし M は A の広義モード行列である。
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