ジョルダン分解の利用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:33 UTC 版)
「行列の平方根」の記事における「ジョルダン分解の利用」の解説
正方行列 A {\displaystyle A} のジョルダン標準形 を J = P − 1 A P {\displaystyle J=P^{-1}AP} とすると、次が言える。 K {\displaystyle K} を J {\displaystyle J} の平方根 K 2 = J {\displaystyle K^{2}=J} とすると、 B = P K P − 1 {\displaystyle B=PKP^{-1}} は、 B 2 = ( P K P − 1 ) ( P K P − 1 ) = P K 2 P − 1 = P J P − 1 = A {\displaystyle B^{2}=(PKP^{-1})(PKP^{-1})=PK^{2}P^{-1}=PJP^{-1}=A} より、 A {\displaystyle A} の平方根となる。 逆に B {\displaystyle B} を A {\displaystyle A} の平方根 B 2 = A {\displaystyle B^{2}=A} とすると、 K = P − 1 B P {\displaystyle K=P^{-1}BP} は、 K 2 = ( P − 1 B P ) ( P − 1 B P ) = P − 1 B 2 P = P − 1 A P = J {\displaystyle K^{2}=(P^{-1}BP)(P^{-1}BP)=P^{-1}B^{2}P=P^{-1}AP=J} より、 J {\displaystyle J} の平方根であり、 B = P K P − 1 {\displaystyle B=PKP^{-1}} である。 このため、ジョルダン標準形 J = P − 1 A P {\displaystyle J=P^{-1}AP} の全ての平方根 K {\displaystyle K} を知ることができれば、 B = P K P − 1 {\displaystyle B=PKP^{-1}} により、 A {\displaystyle A} の全ての平方根 B {\displaystyle B} を知ることができる。 J = [ J 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ J m ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &J_{m}\\\end{bmatrix}}} とし、 K i 2 = J i , 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle K_{i}^{2}=J_{i},1\leq i\leq m} とすれば、 K = [ K 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ K m ] {\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &K_{m}\\\end{bmatrix}}} は、 J {\displaystyle J} の平方根のうちの一つである。 逆に、 J = [ J 1 O O J 2 ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}} 、ただし J 1 , J 2 {\displaystyle J_{1},J_{2}} はジョルダン標準形で、 J 1 {\displaystyle J_{1}} と J 2 {\displaystyle J_{2}} は共通の固有値を持たないとすると、 J {\displaystyle J} の平方根は、 K = [ K 1 O O K 2 ] {\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&O\\O&K_{2}\\\end{bmatrix}}} ただし、 K 1 2 = J 1 , K 2 2 = J 2 {\displaystyle K_{1}^{2}=J_{1},K_{2}^{2}=J_{2}} に限られる。 これは、 K = [ K 1 B C K 2 ] , J = K 2 {\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}},J=K^{2}} とすると、 K 3 = K J = [ K 1 B C K 2 ] [ J 1 O O J 2 ] = [ K 1 J 1 B J 2 C J 1 K 2 J 2 ] = J K = [ J 1 O O J 2 ] [ K 1 B C K 2 ] = [ J 1 K 1 J 1 B J 2 C J 2 K 2 ] {\displaystyle K^{3}=KJ={\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{1}J_{1}&BJ_{2}\\CJ_{1}&K_{2}J_{2}\\\end{bmatrix}}=JK={\begin{bmatrix}J_{1}&O\\O&J_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}K_{1}&B\\C&K_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{1}K_{1}&J_{1}B\\J_{2}C&J_{2}K_{2}\\\end{bmatrix}}} より B J 2 = J 1 B {\displaystyle BJ_{2}=J_{1}B} となるが、 B = [ b 1 … b k ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1}&\dots &b_{k}\\\end{bmatrix}}} 、 J 2 {\displaystyle J_{2}} の対角成分（固有値）を λ i , 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle \lambda _{i},1\leq i\leq k} と置き、第１列に注目すれば、 λ 1 b 1 = J 1 b 1 {\displaystyle \lambda _{1}b_{1}=J_{1}b_{1}} だが、 J 1 {\displaystyle J_{1}} と J 2 {\displaystyle J_{2}} は共通の固有値を持たないため、 b 1 = 0 {\displaystyle b_{1}=0} が言え、順次、第２列、第３列に注目すれば b i = 0 {\displaystyle b_{i}=0} が言え、 B = O {\displaystyle B=O} が言える。 C J 1 = J 2 C {\displaystyle CJ_{1}=J_{2}C} からも同様に、 C = [ c 1 ⋮ c k ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\\end{bmatrix}}} と置き、第k行に注目すれば c k J 1 = λ k c k {\displaystyle c_{k}J_{1}=\lambda _{k}c_{k}} だが、 J 1 {\displaystyle J_{1}} と J 2 {\displaystyle J_{2}} は共通の固有値を持たないため、 c k = 0 {\displaystyle c_{k}=0} が言え、順次、第k-1行、第k-2行に注目すれば c i = 0 {\displaystyle c_{i}=0} が言え、 C = O {\displaystyle C=O} が言える。このため、上記が言える。 ジョルダン標準形の平方根には、ジョルダン細胞の平方根であるものと、 [ 1 0 0 1 ] = [ 1 − b c b c − 1 − b c ] 2 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-bc}}&b\\c&-{\sqrt {1-bc}}\\\end{bmatrix}}^{2}} のようにジョルダン細胞の平方根ではないもの（同じ固有値のジョルダン細胞が複数あるときに発生する）があるので、注意が必要である。
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