行列の平方根

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行列の平方根

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/30 19:29 UTC 版)

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数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根（ぎょうれつのへいほうこん、英: square root of a matrix）は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根であるとは、行列の積に関して B² = BB が A に等しいときに言う。

「実数の平方根は必ずしも実数にならないが、複素数は必ず複素数の範囲で平方根を持つ」ことに対応する事実として、実行列の平方根は（存在しても）必ずしも実行列にならないが、複素行列が平方根を持てばそれは必ず複素行列の範囲で取れる。

平方根を持たない行列も存在する^{[注 1]}。

また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る^{[注 2]}。実際、2 × 2 単位行列は次のように無数の平方根を持つ。$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\sqrt {1-bc}}&b\\c&-{\sqrt {1-bc}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-{\sqrt {1-bc}}&b\\c&{\sqrt {1-bc}}\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$$ カテゴリ