非対称平方根のユニタリ自由度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:33 UTC 版)
「行列の平方根」の記事における「非対称平方根のユニタリ自由度」の解説
正実数の平方根は、主平方根に ±1 を掛けたものですべて与えられた。これに対応するように、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ変換によって関連付けられる: 主張 半正定値行列 T に対し、T = A*A = B*B ならばユニタリ行列 U が存在して A = UB と書ける。 実際、主平方根を B := T½ と書けば、T が正定値のとき B は可逆で、U = AB−1がユニタリであることは U ∗ U = ( ( B ∗ ) − 1 A ∗ ) ( A B − 1 ) = ( B ∗ ) − 1 T ( B − 1 ) = ( B ∗ ) − 1 B ∗ B ( B − 1 ) = I . {\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left((B^{*})^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=(B^{*})^{-1}T(B^{-1})\\&=(B^{*})^{-1}B^{*}B(B^{-1})=I.\end{aligned}}} からわかる。T が正定値でない半正定値行列のときは逆行列の代わりにムーア・ペンローズ擬逆行列 B+ が取れて、作用素 B+A は部分等長だから、T の核の上で自明となるように拡張して U が得られる。
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