非対称行列への拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/23 04:18 UTC 版)
幾つかの文献では、複素行列 M が正定値であることを、任意の非零複素ベクトル z に対して Re(z∗Mz) > 0 で定義しているものがある。ただし、Re(c) は複素数 c の実部。この弱い条件での定義は非エルミートな複素行列の一部（これには ( 1 1 − 1 1 ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}\right)} のような一部の非対称実行列も含む）も満たす。 実際にこの定義の下では、実行列が正定値であるための必要十分条件は任意の非零実ベクトル z に対して zTMz > 0 となることであって、必ずしも M の対称性は要求しない。 一般に、任意の非零複素ベクトル z に対して Re(z∗Mz) > 0 となるための必要十分条件は、M のエルミート成分 (M + M∗)/2 が狭い意味での正定値となることである。同様に、任意の非零実ベクトル x に対して xTMx > 0 となるための必要十分条件は、M の対称成分 (M + MT)/2 が狭い意味での正定値となることである。 まとめると、実の場合と複素の場合とを分ける特徴は、複素ヒルベルト空間上の有界な正作用素はエルミートあるいは自己随伴でなければならないということである。この一般の主張は極化恒等式（英語版）を用いて説明できる。このことは実の場合にはもはや正しくない。
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