英語版からの直訳
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/19 15:33 UTC 版)
対角化可能でない行列の場合にはジョルダン標準形が利用できる。 すべての固有値が正の実数であるような任意の複素行列が、同じ条件の平方根を持つことを見るには、ジョルダンブロックの場合に証明すれば十分である。そのようなブロックは実数 λ > 0 および冪零行列 N を用いて λ(I + N) の形に書ける。平方根の二項級数展開 (1 + z)1/2 = 1 + a1 z + a2 z2 + ⋯（収束域は |z| < 1）に対し、形式冪級数としての平方は 1 + z に等しい。z を N に置き換えれば、冪零性により有限個を除く全ての項は零となり、S = √λ(I + a1 N + a2 N2 + ⋯) が固有値 √λ に属するジョルダンブロックの平方根を与える。 一意性を見るには λ = 1 の場合に確認すれば十分である。上で構成した平方根を S = I + L の形に書けば、L は定数項を持たない N の多項式である。固有値が正の実数となる他の任意の平方根 T は T = I + M の形で M が冪零かつ N と（したがって L と）可換となるようにとれる。しかしこのとき 0 = S2 − T2 = 2(L − M)(I + (L + M)/2) であり、また L と M の可換性により L + M は冪零ゆえ I + (L + M)/2 は可逆（逆行列はノイマン級数で与えられる）となるから、したがって L = M. すべての固有値が正の実数であるような行列 A の最小多項式を p(t) とするとき、A の一般固有空間へのジョルダン分解は p(t)−1 の部分分数分解から導かれる。すなわち、対応する一般固有空間の上への射影は A の実係数多項式として与えられ、各固有空間上で A は上記の通り λ(I + N) の形をしている。固有空間上での平方根の冪級数展開は、A の主平方根が実係数多項式 q(t) に対する q(A) の形をしていることを示すものである。
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