行列の幾何級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/29 22:09 UTC 版)
行列の幾何級数は通常の幾何級数と同様の仕方で計算できる。すなわち、行列多項式として S = S(X) := I + X + ⋯ + Xn と書くとき、 S = I + X + X 2 + ⋯ + X n − ) X S = X + X 2 + ⋯ + X n + X n + 1 ( I − X ) S = I − X n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}S&=I+X+X^{2}+\cdots +X^{n}\\-)\quad \qquad XS&=\qquad \!X+X^{2}+\cdots +X^{n}+X^{n+1}\\\hline (I-X)S&=I\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -X^{n+1}\end{aligned}}} は一般に成り立つから、I − A が正則となる A における評価 S ( A ) = ( I − A ) − 1 ( I − A n + 1 ) {\displaystyle S(A)=(I-A)^{-1}(I-A^{n+1})} は通常の通り正当化できる。あるいは Nn+1 = 0 となる冪零行列 N における値は S(N) = (I − N)−1 である（これは無限幾何級数の和と対応すると考えることができる）。
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