行列の条件数とは? わかりやすく解説

行列の条件数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2018/08/14 23:48 UTC 版)

条件数」の記事における「行列の条件数」の解説

たとえば A x = b {\displaystyle Ax=b} という方程式条件数は、 x {\displaystyle x} を近似的に求める際の不正確さの上限を与える。なお、これには丸め誤差影響考慮しない条件数行列属性であって計算に使うシステム浮動小数点数精度アルゴリズムとは無関係である。この場合(非常に大まかに言って)、 b {\displaystyle b} の変化によって解である x {\displaystyle x} が変化する率が条件数である。従って、条件数大きければ b {\displaystyle b} の小さな誤差も x {\displaystyle x} の大きな誤差となって現れる一方条件数小さければ、 x {\displaystyle x} における誤差は b {\displaystyle b} における誤差より大きくなることはない。 より正確に条件数定義すると、 x {\displaystyle x} の相対誤差を b {\displaystyle b} の相対誤差割った最大比率である。 b {\displaystyle b} の誤差を e {\displaystyle e} とする。すると解 A − 1 b {\displaystyle A^{-1}b} の誤差は A − 1 e {\displaystyle A^{-1}e} となる。解の相対誤差と b {\displaystyle b} の相対誤差比率は、次のうになる。 ‖ A − 1 e ‖ / ‖ A − 1 b ‖ ‖ e ‖ / ‖ b ‖ {\displaystyle {\frac {\Vert A^{-1}e\Vert /\Vert A^{-1}b\Vert }{\Vert e\Vert /\Vert b\Vert }}} これは容易に次のように書き換えられる。 ( ‖ A − 1 e ‖ / ‖ e ‖ ) ⋅ ( ‖ b ‖ / ‖ A − 1 b ‖ ) {\displaystyle (\Vert A^{-1}e\Vert /\Vert e\Vert )\cdot (\Vert b\Vert /\Vert A^{-1}b\Vert )} ( b {\displaystyle b} と e {\displaystyle e} がゼロでないとき)その最大値明らかに2つ作用素ノルムの積となる。 κ ( A ) = ‖ A − 1 ‖ ⋅ ‖ A ‖ {\displaystyle \kappa (A)=\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert } 同様の定義は、任意の行列ノルム当てはまる。この数は数値線型代数学にはよく使われるので、行列の条件数 (condition number of a matrix) と名づけられている。 もちろん、この定義はノルム選択依存している。 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} が l 2 {\displaystyle l_{2}} ノルムなら、 κ ( A ) = σ m a x ( A ) σ m i n ( A ) {\displaystyle \kappa (A)={\frac {\sigma _{\mathrm {max} }(A)}{\sigma _{\mathrm {min} }(A)}}} であり、ここで σ m a x ( A ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }(A)} は A {\displaystyle A} の最大特異値、 σ m i n ( A ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {min} }(A)} は最小特異値である。したがって、 A {\displaystyle A} が正規なら κ ( A ) = | λ m a x ( A ) λ m i n ( A ) | {\displaystyle \kappa (A)=\left|{\frac {\lambda _{\mathrm {max} }(A)}{\lambda _{\mathrm {min} }(A)}}\right|} ( λ m a x ( A ) ,   λ m i n ( A ) {\displaystyle \lambda _{\mathrm {max} }(A),\ \lambda _{\mathrm {min} }(A)} はそれぞれ A {\displaystyle A} の最大および最小固有値) A {\displaystyle A} がユニタリなら κ ( A ) = 1 {\displaystyle \kappa (A)=1\,} ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} が l ∞ {\displaystyle l_{\infty }} ノルムで、 A {\displaystyle A} が三角行列特異値持たない(すなわち、 a i i ≠ 0 ∀ i {\displaystyle a_{ii}\neq 0\;\forall i} )なら κ ( A )max i ( | a i i | ) min i ( | a i i | ) {\displaystyle \kappa (A)\geq {\frac {\max _{i}(|a_{ii}|)}{\min _{i}(|a_{ii}|)}}}

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