行列の行列乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 07:15 UTC 版)
行列の指数函数と行列の対数函数が既知であるならば、任意の正規かつ正則な n-次正方行列 X と任意の n-次複素正方行列 Y に対して、行列の行列乗 (matrix-matrix exponential)を X Y = e log ( X ) ⋅ Y , Y X = e Y ⋅ log ( X ) {\displaystyle {\begin{aligned}X^{Y}&=e^{\log(X)\cdot Y},\\\!{}^{Y}\!\!X\,&=e^{Y\cdot \log(X)}\end{aligned}}} と定義することができる。ここに、行列の乗法は非可換であるから、行列の行列乗も左冪 YX と右冪 XY の別が生じることに注意せよ。さらに言えば、 X が正規かつ正則ならば、XY と YX は固有値集合が一致する。 X が正規かつ正則で、Y が正規であり、かつ XY = YX が成り立つならば、XY = YX が成り立つ。 X が正規かつ正則で、X, Y, Z がどの二つも互いに可換ならば、XY+Z = XY⋅XZ かつ Y+ZX = YX⋅ZX が成り立つ。
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