特異値とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

特異値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/09 16:23 UTC 版)

数学の線型代数学分野において、行列 $A$ の特異値（とくいち、英: Singular values）とは、 $A$ の随伴行列 $A *$ との積 $AA *$ の固有値の非負の平方根のことである^[1]^[2]^{[要ページ番号]}。

^ Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber 2007, pp. 33–34.
^ ^a ^b 山本 2003.
^ Yamamoto, T. (1967). On the extreme values of the roots of matrices. Journal of the Mathematical Society of Japan, 19(2), 173-178.
^ Davis, C. (1970). On a theorem of Yamamoto. Numerische Mathematik, 14(3), 297-298.

^ 特異値分解で $M = UΣV *, M * = (UΣV *) * = VΣ * U *$ 。特異値を対角成分に持つ $Σ$ は対角行列だから $Σ = Σ *$ 。
^ フロベニウスノルム参照
^ (証明) $\scriptstyle \det(AA^{*})=\det(A){\overline {\det(A)}}=|\det(A)|^{2}=\prod _{i}\sigma _{i}^{2}(A)$ .

「特異値」の続きの解説一覧

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:07 UTC 版)

「クロネッカー積」の記事における「特異値」の解説

矩形行列 A, B に関してその特異値を考えることができる。行列 A が rA 個の非零特異値 σ A , i ( i = 1 , … , r A ) {\displaystyle \sigma _{A,i}\quad (i=1,\ldots ,r_{A})} を持つものとし、同様に B の非零特異値を σ B , i ( i = 1 , … , r B ) {\displaystyle \sigma _{B,i}\quad (i=1,\ldots ,r_{B})} で表せば、クロネッカー積 A ⊗ B は rArB 個の特異値 σ A , i σ B , j ( i = 1 , … , r A ; j = 1 , … , r B ) {\displaystyle \sigma _{A,i}\sigma _{B,j}\qquad (i=1,\ldots ,r_{A};\;j=1,\ldots ,r_{B})} を持つ。行列の階数はその非零特異値の個数に等しいから、 rank ( A ⊗ B ) = rank A rank B {\displaystyle {\text{rank}}(A\otimes B)={\text{rank}}\,A\ {\text{rank}}\,B} も分かる。

※この「特異値」の解説は、「クロネッカー積」の解説の一部です。
「特異値」を含む「クロネッカー積」の記事については、「クロネッカー積」の概要を参照ください。

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