特異値の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/21 09:59 UTC 版)
注意事項： 行列式やトレースなどは正方行列に対して定義されるので m × n の行列 A に直接適用してはならない。 特異値 σ(A) はすべて非負の実数 σ(A) ≥ 0 σ i ( A ) = σ i ( A ∗ ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\sigma _{i}(A^{*})} σ i ( A ) = λ i ( A A ∗ ) = λ i ( A ∗ A ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)={\sqrt {\lambda _{i}(AA^{*})}}={\sqrt {\lambda _{i}(A^{*}A)}}} ( A A ∗ ) 2 x = A A ∗ x = λ i ( A A ∗ ) x = σ i 2 ( A ) x {\displaystyle \left({\sqrt {AA^{*}}}\right)^{2}x=AA^{*}x=\lambda _{i}(AA^{*})x=\sigma _{i}^{2}(A)x} σ i ( A ) = λ i ( A A ∗ ) = λ i ( A ∗ A ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\lambda _{i}({\sqrt {AA^{*}}})=\lambda _{i}({\sqrt {A^{*}A}})} det ( A A ∗ ) = ∏ i λ i ( A A ∗ ) = ∏ i = 1 min ( m , n ) σ i 2 ( A ) {\displaystyle \det(AA^{*})=\prod _{i}\lambda _{i}(AA^{*})=\prod _{i=1}^{\min(m,n)}\sigma _{i}^{2}(A)} tr ( A A ∗ ) = ∑ i λ i ( A A ∗ ) = ∑ i = 1 min ( m , n ) σ i 2 ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (AA^{*})=\sum _{i}\lambda _{i}(AA^{*})=\sum _{i=1}^{\min(m,n)}\sigma _{i}^{2}(A)} 行列 A が m = n の正方行列の場合には以下が成り立つ。 | det ( A ) | = ∏ i σ i ( A ) {\displaystyle |\det(A)|=\prod _{i}\sigma _{i}(A)} ワイルの不等式 ∏ i = 1 k | λ ( A ) | ≤ ∏ i = 1 k σ ( A ) ( 1 ≤ k ≤ m = n ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{k}|\lambda (A)|\leq \prod _{i=1}^{k}\sigma (A)\quad (1\leq k\leq m=n)} 行列 A が m = n の正規行列の場合には以下が成り立つ。特異値は固有値の絶対値に等しい。 σ i ( A ) = | λ i ( A ) | {\displaystyle \sigma _{i}(A)=|\lambda _{i}(A)|} 行列 A が m = n の半正定値対称行列の場合には以下が成り立つ。特異値は固有値に等しい。 σ i ( A ) = λ i ( A ) {\displaystyle \sigma _{i}(A)=\lambda _{i}(A)} A p {\displaystyle A^{p}} の特異値を σ i ( p ) {\displaystyle \sigma _{i}^{(p)}} として、 | λ 1 | ≥ ⋯ ≥ | λ n | , σ 1 ( p ) ≥ ⋯ ≥ σ n ( p ) {\displaystyle |\lambda _{1}|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}|,\quad \sigma _{1}^{(p)}\geq \cdots \geq \sigma _{n}^{(p)}} と並べるとき、Banach代数の分野で知られた公式（Gelfand, 1941）[要ページ番号]: lim p → ∞ σ 1 ( p ) 1 p = | λ 1 | {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\sigma _{1}^{(p){\frac {1}{p}}}=|\lambda _{1}|} の一般化として、 lim p → ∞ σ i ( p ) 1 p = | λ i | , 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle \lim _{p\to \infty }\sigma _{i}^{(p){\frac {1}{p}}}=|\lambda _{i}|,\quad 1\leq i\leq n} が成り立つ。この公式はヒルベルト空間上のコンパクト作用素に対しても成立する。
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