特異単体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/01 06:45 UTC 版)
特異 n-単体 (singular n-simplex) は標準 n-単体 Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} から位相空間 X への連続写像 σ n {\displaystyle \sigma _{n}} である。記号では σ n : Δ n → X {\displaystyle \sigma _{n}:\Delta ^{n}\to X} と書く。この写像は単射である必要はなく、X における像が同じであっても同じ特異単体とは限らない。 σ n ( Δ n ) {\displaystyle \sigma _{n}(\Delta ^{n})} の境界は、 ∂ n σ n ( Δ n ) {\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}(\Delta ^{n})} と表記され、標準 n-単体の面への σ {\displaystyle \sigma } の制限によって表現される特異 (n − 1)-単体の形式和 に向き付けを考慮した符号をつけたものと定義される。（形式和は単体上の自由アーベル群の元である。この群の基底は標準単体のあらゆる像の無限集合である。群の演算は「加法」であり、像 a と像 b の和は通常単に a + b と表されるが、a + a = 2a など。すべての像 a は負 −a をもつ。）したがって、 σ n {\displaystyle \sigma _{n}} の値域を標準 n-単体 Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} の頂点 e k {\displaystyle e_{k}} によってその頂点 [ p 0 , p 1 , ⋯ , p n ] = [ σ n ( e 0 ) , σ n ( e 1 ) , ⋯ , σ n ( e n ) ] {\displaystyle [p_{0},p_{1},\cdots ,p_{n}]=[\sigma _{n}(e_{0}),\sigma _{n}(e_{1}),\cdots ,\sigma _{n}(e_{n})]} によって表せば（これはもちろん σ n {\displaystyle \sigma _{n}} によって生み出された標準単体の像を完全には特定しない）、 ∂ n σ n ( Δ n ) = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k [ p 0 , ⋯ , p k − 1 , p k + 1 , ⋯ p n ] {\displaystyle \partial _{n}\sigma _{n}(\Delta ^{n})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}[p_{0},\cdots ,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_{n}]} は具体的に示された単体の像の面の形式和である。（つまり、個々の面はその頂点がリストされる順番に依存する Δ n {\displaystyle \Delta ^{n}} の面の指定に適用される σ n {\displaystyle \sigma _{n}} の像でなければならない。）したがって、例えば、 σ = [ p 0 , p 1 ] {\displaystyle \sigma =[p_{0},p_{1}]} の境界（ p 0 {\displaystyle p_{0}} から p 1 {\displaystyle p_{1}} へ行く曲線）は形式和（あるいは「形式差」） [ p 1 ] − [ p 0 ] {\displaystyle [p_{1}]-[p_{0}]} である。
※この「特異単体」の解説は、「特異ホモロジー」の解説の一部です。
「特異単体」を含む「特異ホモロジー」の記事については、「特異ホモロジー」の概要を参照ください。
- 特異単体のページへのリンク
