特異値との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 05:18 UTC 版)
正方行列 A の特異値を σi(A) (i = 1, …, n) と置くと、 | det ( A ) | = ∏ k = 1 n σ k ( A ) {\displaystyle |\det(A)|=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}(A)} となる。このことは、特異値分解を用いて示される。 (証明) | det ( A ) | = | det ( U Σ V ) | = | det ( U ) det ( Σ ) det ( V ) | = | det ( Σ ) | = ∏ k Σ k k = ∏ k σ k ( A ) {\displaystyle |\det(A)|=|\det(U\Sigma V)|=|\det(U)\det(\Sigma )\det(V)|=|\det(\Sigma )|=\prod _{k}\Sigma _{kk}=\prod _{k}\sigma _{k}(A)\;} (対角行列Σの対角成分は非負) 正方行列 An に関して行列式と固有値および特異値の間には次の関係が成り立つ。 | det ( A n ) | = ∏ k = 1 n | λ k ( A n ) | = ∏ k = 1 n σ k ( A n ) {\displaystyle |\det(A_{n})|=\prod _{k=1}^{n}|\lambda _{k}(A_{n})|=\prod _{k=1}^{n}\sigma _{k}(A_{n})}
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