特異値分解定理

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特異値分解定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/30 17:38 UTC 版)

「特異値分解」の記事における「特異値分解定理」の解説

M を階数 r の m 行 n 列の行列とする。ただし、行列の要素は体 K の元であり、K は実数体 R または複素数体 C のいずれかであるとする。このとき、 M = U Σ V ∗ という M の分解が存在する。ここで U は m 行 m 列のユニタリ行列、V* は n 行 n 列のユニタリ行列 V の随伴行列（複素共役かつ転置行列）。さらに半正定値行列 MM*（あるいは M*M）の正の固有値の平方根 σ1 ≥ … ≥ σr > 0 が存在して、q = min(m, n), σr+1 = … = σq = 0 とおけば、m 行 n 列の行列 Σ は以下の形になる。 Σ = { [ Δ O ] ( m < n ) Δ ( m = n ) [ Δ O ] ( m > n ) where  Δ = diag ⁡ ( σ 1 , σ 2 , … , σ q ) ここで Δ は σ1, ..., σq を対角成分とする q 行 q 列の対角行列、部分行列 O は零行列である。この分解を特異値分解、σ1, ..., σq を行列 M の特異値と呼ぶ。 入力情報を n 成分の列ベクトル v として表し、出力として Mv が得られるようなモデルを考えると、行列 M の特異値分解によって得られるユニタリ行列と特異値について以下のような解釈を与えることができる。 行列 V の各列は、M の入力空間の正規直交基底を表す。 行列 U の各列は、M の出力空間の正規直交基底を表す。 特異値は増幅率を表し、入力成分がそれぞれ何倍されて出力されるかを表す。 Σ の対角成分の並びは自由だが、応用上は取り扱いを簡単にするため降順に並べることが多い。こうすると、U と V は一意には定まらないが、Σ は一意に定まる。