特異台

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関数の台

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/06 17:51 UTC 版)

数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。また、何らかの意味で有界な台を備える函数は、様々な種類の双対に関する理論において主要な役割を担っている。

定義

与えられた集合 X 上の函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ∖ Y で常に消えていることを言う。このとき、Y を部分集合として含む任意の集合（Y の拡大集合）Z に対して f は Z に台を持つことになるのは明らかであるから、函数 f の台 supp(f) は、f が台を持つような X の部分集合全ての交わりとして定義される。即ち、集合論的な意味でいう函数の台は

$\mathrm {supp} (f):=\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}$ この項目は、解析学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

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特異台

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「関数の台」の記事における「特異台」の解説

特にフーリエ解析の文脈では、超函数の特異台 (singular support) の研究に興味が持たれる。これは直観的には超函数が「その点で滑らかな函数になることができない」ような点全体の成す集合と解釈することができる。 例えば、ヘヴィサイドの階段函数のフーリエ変換は（点 x = 0 を外にすれば）定数の違いを除いて逆数函数 1/x と考えることができる。明らかに x = 0 は特別な点なのだけれども、もっと明確な言い方をするならこの変換函数は（0 を含む台を持つ試験函数に対する）超函数として特異台 {0} を持つということなのだが、これを函数としての性質と考えては正確に表すことはできない。広義積分のコーシー主値の応用としてならば言い表せる。 多変数の超函数に対する特異台を考えると、波面集合（英語版）を定義したり、ホイヘンスの原理を解析学の言葉で理解したりすることができるようになる。また特異台を考えることは、超函数同士を掛け算すると言ったような超函数論特有の現象の理解にも役に立つ（例えばデルタ超函数を平方することはできないという現象は、本質的には超函数同士が掛け算できるにはそれぞれの特異台が互いに素でなければならないことによる）。