特異値とは？わかりやすく解説

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特異値

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/09 16:23 UTC 版)

数学の線型代数学分野において、行列 $A$ の特異値（とくいち、英: Singular values）とは、 $A$ の随伴行列 $A *$ との積 $AA *$ の固有値の非負の平方根のことである^[1]^[2]^{[要ページ番号]}。

出典

^ Grégoire Allaire, Sidi Mahmoud Kaber 2007, pp. 33–34.
^ ^a ^b 山本 2003.
^ Yamamoto, T. (1967). On the extreme values of the roots of matrices. Journal of the Mathematical Society of Japan, 19(2), 173-178.
^ Davis, C. (1970). On a theorem of Yamamoto. Numerische Mathematik, 14(3), 297-298.

注釈

^ 特異値分解で $M = UΣV *, M * = (UΣV *) * = VΣ * U *$ 。特異値を対角成分に持つ $Σ$ は対角行列だから $Σ = Σ *$ 。
^ フロベニウスノルム参照
^ (証明) $\scriptstyle \det(AA^{*})=\det(A){\overline {\det(A)}}=|\det(A)|^{2}=\prod _{i}\sigma _{i}^{2}(A)$ .

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