行列の分解とカルタン行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/24 06:18 UTC 版)
「モジュラー表現論」の記事における「行列の分解とカルタン行列」の解説
直既約射影加群の組成因子は以下のように計算することができる。特定の有限群の既約通常指標と既約ブラウアー指標が与えられたとき、既約通常指標は既約ブラウアー指標の非負整係数線型結合に分解できるが、これらの係数として表れる整数を、既約通常指標側を行に既約ブラウアー指標側を列に充てて行列の形に並べることができる。これを、分解行列 D と呼ぶ。分解行列の第 1 行と第 1 列はそれぞれ自明通常指標と自明ブラウアー指標を充てるものとする。D の転置行列と D 自身との積はふつう、カルタン行列 C と呼ばれ、その第 j-列の各成分は j-番目の直既約射影加群の組成因子としての単純加群の重複度であるような対称行列になる。カルタン行列は正則であり、実はその行列式の値は K の標数の冪になる。 与えられたブロックに属する直既約射影加群はその組成因子全てが同じブロックに属するから、各ブロックはそれぞれ独自のカルタン行列を持つ。
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