行列のスペクトル半径および諸性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/08 15:58 UTC 版)
「スペクトル半径」の記事における「行列のスペクトル半径および諸性質」の解説
複素正方行列 A ∈ C n × n {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}} について、その固有値を λ 1 , λ 2 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}} （実数または複素数）とする。このときの A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} のスペクトル半径 ρ ( A ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})} は以下のように定義される。 ρ ( A ) := max i ( | λ i | ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}}):=\max _{i}(|\lambda _{i}|)} より一般に、単位的バナッハ環の元 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} について、そのスペクトル σ(A) = {λ ∈ C | λI - A は可逆でない } に含まれる数の絶対値の上限 ρ ( A ) {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})} が A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} のスペクトル半径と呼ばれる(ここで I はバナッハ環の単位元とする)。有界線形作用素 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} と作用素ノルム ||·|| に対し、次式がなりたつ(#ノルムによる評価節を参照のこと)。 ρ ( A ) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 / k . {\displaystyle \rho ({\boldsymbol {A}})=\lim _{k\to \infty }\|{\boldsymbol {A}}^{k}\|^{1/k}.} 複素ヒルベルト空間上の有界作用素は、そのスペクトル半径が数域半径と一致する場合、spectraloid operator と呼ばれる。このような作用素の例としては、正規作用素がある。
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