行列の冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/21 05:56 UTC 版)
Aが無向または有向グラフGの隣接行列とすると、行列An（すなわちAのn個の複製の積）は興味深い解釈を持つ: 要素(i, j)は頂点iから頂点jへの長さnの（有向または無向）歩道の数を与える。nが、あるi、jについてAnの要素(i, j)が正となるような最小の非負整数とすると、nは頂点iと頂点jとの間の距離である。これは、例えば、無向グラフG中の三角形の数が厳密にA3の跡を6で割った数となることを暗に示す。ここで留意すべきは、隣接行列はグラフが連結しているかどうかを決定するために使うことができることである。
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行列の冪
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 13:57 UTC 版)
正方行列に関しては、行の本数と列の本数が常に等しいから、通常の数と同様に自分自身を繰り返し掛けることができて、この行列の積の特別の場合としての反復乗積は行列の冪（英: matrix power）を定義することができる。行の本数と列の本数が一致しない一般の矩形行列では冪を考えることができない。即ち、n × n 行列 A と正整数 k に対して A k = A A ⋯ A k times {\displaystyle A^{k}={\underset {k{\text{ times}}}{AA\cdots A}}} 冪の逆として行列の冪根を考えたり、また冪級数として行列の指数函数やその逆写像として行列の対数函数などを定義したりすることもできる。
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