行列多項式とは？わかりやすく解説

数学における行列多項式（ぎょうれつたこうしき、英: matrix polynomial）は、行列^{[注 1]}を変数とする（一変数または多変数の）「多項式」を言う。行列多項式の係数には、スカラーや行列など、変数行列との積が定義できる様々な対象が考えられる。変数 $X$ が決まったサイズの正方行列を亙るものとすれば、行列多項式 $P (X)$ には $X$ と同じサイズの行列 $A$ を代入することができて—代入した値を $P (A)$ と書けば—評価写像 $(P (X), A) \mapsto P (A)$ や「多項式函数」 $A \mapsto P (A)$ などが定まる。

例えば、変数 $X$ に関するスカラー係数の一変数行列多項式は

P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=a_{0}I+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

[注 1]

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