行列式の計算および逆行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:23 UTC 版)
「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事における「行列式の計算および逆行列」の解説
「行列式#固有値との関係」および「固有多項式#性質」も参照 ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。実際、 p ( A ) = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + ( − 1 ) n det ( A ) I n = O {\displaystyle p(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+(-1)^{n}\det(A)I_{n}=O} (∗) 式 (∗) において、定数項を移項すると − ( − 1 ) n det ( A ) I n = A ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + ⋯ + c 1 I n ) {\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})} 両辺に A−1 を掛けると A − 1 = ( − 1 ) n − 1 det A ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + ⋯ + c 1 I n ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})} を得る。 一般に、係数 ci を与える公式が、完全指数型ベル多項式によって c n − k = ( − 1 ) k k ! B k ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! s k ) {\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})} と与えられる。特に A の行列式は c0 であるから、トレースを含む表示（トレース恒等式（英語版））として det ( A ) = 1 n ! B n ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! s n ) {\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n})} と書ける。同様に、 A − 1 = 1 det A ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) n + k − 1 A n − k − 1 k ! B k ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! s k ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\dfrac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})} なる表示もできる。 例えば、ベル多項式の最初の方は B0 = 1, B1(x1) = x1, B2(x1, x2) = x 21 + x2, B3(x1, x2, x3) = x 31 + 3x1x2 + x3, … であるから、これらを用いて 2次の場合の固有多項式の係数 ci を具体的に計算すれば c 2 = B 0 = 1 , c 1 = − 1 1 ! B 1 ( s 1 ) = − s 1 = − tr ( A ) c 0 = 1 2 ! B 2 ( s 1 , − 1 ! s 2 ) = 1 2 ( s 1 2 − s 2 ) = 1 2 ( ( tr ( A ) ) 2 − tr ( A 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&c_{2}=B_{0}=1,\quad c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A)\\&c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))\end{aligned}}} などとなる。ここで、c0 は行列式であるから、この場合の逆行列を A − 1 = − 1 det A ( A + c 1 I 2 ) = − 2 ( A − tr ( A ) I 2 ) ( tr ( A ) ) 2 − tr ( A 2 ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}} と計算することができる。 注 ここで出てきた式 1/2((trA)2 − tr(A2)) は、cn−k に対する（ベル多項式を用いた）一般式から出たものだから、n次正方行列に対してもこれは常に λn−2 の係数 cn−2 を与えるものとなっていることが一見して分かる。ゆえに特に、3次正方行列 A に対するケイリー・ハミルトンの定理の主張を A 3 − ( tr A ) A 2 + 1 2 ( ( tr A ) 2 − tr ( A 2 ) ) A − det ( A ) I 3 = O {\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))A-\det(A)I_{3}=O} と書くことができる。同様に n = 3 の場合の行列式は今度は det ( A ) = 1 3 ! B 3 ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 ) = 1 6 ( s 1 3 + 3 s 1 ( − s 2 ) + 2 s 3 ) = 1 6 ( ( tr A ) 3 − 3 tr ( A 2 ) ( tr A ) + 2 tr ( A 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\&={\tfrac {1}{6}}((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}))\end{aligned}}} と書けるが、これはそのまま一般の場合の λn−3 の係数 cn−3 を表す式として理解できる。ゆえにさらにこれを用いて 4次正方行列 A に対する定理の主張は A 4 − ( tr A ) A 3 + 1 2 ( ( tr A ) 2 − tr ( A 2 ) ) A 2 − 1 6 ( ( tr A ) 3 − 3 tr ( A 2 ) ( tr A ) + 2 tr ( A 3 ) ) A + det ( A ) I 4 = O {\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}){\bigr )}A^{2}-{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\bigr )}A+\det(A)I_{4}=O} と書けるし、この場合の行列式 1 24 ( ( tr A ) 4 − 6 tr ( A 2 ) ( tr A ) 2 + 3 ( tr ( A 2 ) ) 2 + 8 tr ( A 3 ) tr ( A ) − 6 tr ( A 4 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}((\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3(\operatorname {tr} (A^{2}))^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4}))} は cn−4 を表す式に他ならない。以下より大きな次数の行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。 係数 ck に対するもっと複雑な表示が、ニュートンの公式（英語版）やファデーエフ–ルヴェリエのアルゴリズム（英語版）などから導ける。係数 ck を求める別の方法として、一般の n次正方行列でどの根も 0 でないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示 p ( λ ) = det ( λ I n − A ) = λ n exp ( tr ( log ( I n − A / λ ) ) ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda )))} を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数（英語版）を用いて書けば p ( λ ) = λ n exp ( − tr ∑ m = 1 ∞ ( A λ ) m m ) {\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \!{\bigg (}-\operatorname {tr} \textstyle \sum \limits _{m=1}^{\infty }{\dfrac {({\frac {A}{\lambda }})^{m}}{m}}{\biggr )}} であるが、p(λ) は n次だから、この指数函数部分は λ−n のオーダーまで展開するだけでよい。λ の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える（再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である）。λ に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示を λ に関して微分することで、一般の n に対する固有多項式の一般係数を m次行列式 c n − m = ( − 1 ) m m ! | tr A m − 1 0 ⋯ tr A 2 tr A m − 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ tr A m − 1 tr A m − 2 ⋯ ⋯ 1 tr A m tr A m − 1 ⋯ ⋯ tr A | {\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}} として求めることができる。
※この「行列式の計算および逆行列」の解説は、「ケイリー・ハミルトンの定理」の解説の一部です。
「行列式の計算および逆行列」を含む「ケイリー・ハミルトンの定理」の記事については、「ケイリー・ハミルトンの定理」の概要を参照ください。
- 行列式の計算および逆行列のページへのリンク
