行列式公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 04:33 UTC 版)
各自然数 n に対して p(n) は次の式で求められる。 G P N ′ s 0 1 2 5 7 ⋮ p ( n ) = | 1 − 1 1 1 − 1 0 1 1 − 1 0 0 1 1 − 1 − 1 0 0 1 1 − 1 0 − 1 0 0 1 1 − 1 − 1 0 − 1 0 0 1 1 − 1 0 − 1 0 − 1 0 0 1 1 − 1 0 0 − 1 0 − 1 0 0 1 1 ⋮ ⋱ | n × n . {\displaystyle {\begin{matrix}{\rm {GPN's}}\\0\\1\\2\\~\\~\\5\\~\\7\\~\\~\\\vdots \\~\\~\end{matrix}}~~~p(n)={\begin{vmatrix}~~1&-1~&~&~&~&~&~&~\\~~1&~1&-1~&~\\~~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&~0&~1&~1&-1~&~\\-1&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&-1~&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\-1&~0&-1~&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&-1~&~0&-1~&~0&~0&~1&~1&-1~&~\\~~0&~0&-1~&~0&-1~&~0&~0&~1&~1&~\\~~\vdots &~&~&~&~&~&~&~&~&\ddots \\\end{vmatrix}}_{n\times n}.} つまり、p(n) は上記無限次元テープリッツ行列を n × n で止めた正方行列の行列式である。この行列の零でない成分は、一般五角数 qm 番目の行の先頭から斜め (diagonal) に配置され（主対角線のひとつ上側の成分 (superdiagonel) は仮想的に 0 番目の行からと考える）、その値が (−1)m+1 となっている。この行列式公式は、次の行列の間の関係式 ( p ( 0 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 3 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 4 ) p ( 3 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) p ( 5 ) p ( 4 ) p ( 3 ) p ( 2 ) p ( 1 ) p ( 0 ) ⋮ ⋱ ) = ( 1 − 1 1 − 1 − 1 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 − 1 1 1 0 0 − 1 − 1 1 ⋮ ⋱ ) − 1 {\displaystyle {\begin{pmatrix}~p(0)&~\\~p(1)&p(0)&~\\~p(2)&p(1)&p(0)&~\\~p(3)&p(2)&p(1)&p(0)&~\\~p(4)&p(3)&p(2)&p(1)&p(0)&~\\~p(5)&p(4)&p(3)&p(2)&p(1)&p(0)&~\\~\vdots &~&~&~&~&~&\ddots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}~1&~\\-1&~1&~\\-1&-1&~1&~\\~0&-1&-1&~1&~\\~0&~0&-1&-1&~1&~\\~1&~0&~0&-1&-1&~1&~\\~\vdots &~&~&~&~&~&\ddots \end{pmatrix}}^{-1}} に同値なのだが、この関係式自体は単に上述の母函数の間の関係式（と五角数定理）を行列の形にまとめたものである。 ラマヌジャンの公式 ∑ k = 0 ∞ p ( 5 k + 4 ) x k = 5 ( x 5 ) ∞ 5 ( x ) ∞ 6 , ( x ) ∞ ≡ ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x m ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}=5\,{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}},\quad (x)_{\infty }\equiv \prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m})} を使えば、分割数 p(5k − 1) はより小さな k-次行列の行列式 p ( 5 k − 1 ) = 5 ⋅ | 1 1 − 6 1 0 9 − 6 1 0 10 9 − 6 1 0 − 30 10 9 − 6 1 0 0 − 30 10 9 − 6 1 − 5 11 0 − 30 10 9 − 6 0 ⋮ ⋱ ⋮ | k × k {\displaystyle p(5k-1)=5\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~&~&~1~\\-6&~1&~&~&~&~&~&~0~\\~9&-6&~1&~&~&~&~&~0~\\~10&~9&-6&~1&~&~&~&~0~\\-30&~10&~9&-6&~1&~&~&~0~\\~0&-30&~10&~9&-6&~1&~&-5~\\~11&~0&-30&~10&~9&-6&~&~0~\\~\vdots &~&~&~&~&~&~\ddots &~\vdots ~\end{vmatrix}}_{k\times k}} として表すことができる。第一列の成分のなす数列は A000729 であり、最終列の（最初の 1 から）五つ毎に現れる非零成分のなす数列 (1, −5, 5, 10, −15, −6, …) は、数列 A000728 になっている（最終列はそれ以外の成分は全て零である）。例えば p ( 29 ) = 5 ⋅ | 1 1 − 6 1 0 9 − 6 1 0 10 9 − 6 1 0 − 30 10 9 − 6 1 0 0 − 30 10 9 − 6 − 5 | = 4565. {\displaystyle p(29)=5\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~1~\\-6&~1&~&~&~&~0~\\~9&-6&~1&~&~&~0~\\~10&~9&-6&~1&~&~0~\\-30&~10&~9&-6&~1&~0~\\0&-30&~10&~9&-6&-5~\end{vmatrix}}=4565.} 同様のやり方で、残り二つのラマヌジャンの公式を使えば、分割数 p(7k − 2) および p(25k − 1) も k-次の行列式 p ( 7 k − 2 ) = 7 ⋅ | 1 1 − 8 1 3 20 − 8 1 2 0 20 − 8 8 ⋮ ⋱ ⋮ | k × k , p ( 25 k − 1 ) = 25 ⋅ | 1 63 − 31 1 4988 434 − 31 1 95751 − 3565 434 − 31 766014 ⋮ ⋱ ⋮ | k × k {\displaystyle {\begin{aligned}p(7k-2)&=7\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&1~\\-8&~1&~&~&3~\\~20&-8&~1&~&2~\\~0&~20&-8&~&8~\\~\vdots &~&~&\ddots &\vdots ~\end{vmatrix}}_{k\times k},\\p(25k-1)&=25\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&63~\\-31&~1&~&~&4988~\\~434&-31&~1&~&95751~\\-3565&~434&-31&~&766014~\\~\vdots &~&~&\ddots &\vdots ~\end{vmatrix}}_{k\times k}\end{aligned}}} と表すことができる。これらの行列の最初の列はそれぞれ A000731 および A010836 であり、最終列は次の展開 ( x ) ∞ 4 ( x 7 ) ∞ 3 + 7 x ( x 7 ) ∞ 7 = 1 + 3 x + 2 x 2 + 8 x 3 + ⋯ ; 63 ( x ) ∞ 24 ( x 5 ) ∞ 6 + 5 3 ⋅ 52 x ( x ) ∞ 18 ( x 5 ) ∞ 12 + 5 5 ⋅ 63 x 2 ( x ) ∞ 12 ( x 5 ) ∞ 18 + 5 8 ⋅ 6 x 3 ( x ) ∞ 6 ( x 5 ) ∞ 24 + 5 10 ⋅ x 4 ( x 5 ) ∞ 30 = 63 + 4988 x + 95751 x 2 + 766014 x 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{\infty }^{4}(x^{7})_{\infty }^{3}+7x(x^{7})_{\infty }^{7}&=1+3x+2x^{2}+8x^{3}+\cdots ;\\&\\63(x)_{\infty }^{24}(x^{5})_{\infty }^{6}+5^{3}\cdot 52x(x)_{\infty }^{18}(x^{5})_{\infty }^{12}&+5^{5}\cdot 63x^{2}(x)_{\infty }^{12}(x^{5})_{\infty }^{18}\\+~5^{8}\cdot 6x^{3}(x)_{\infty }^{6}(x^{5})_{\infty }^{24}&+5^{10}\cdot x^{4}(x^{5})_{\infty }^{30}\\&=63+4988x+95751x^{2}+766014x^{3}+\cdots \end{aligned}}} から得られる。例えば p(149) は p ( 149 ) = 25 ⋅ | 1 63 − 31 1 4988 434 − 31 1 95751 − 3565 434 − 31 1 766014 18445 − 3565 434 − 31 1 3323665 − 57505 18445 − 3565 434 − 31 8359848 | = 37027355200 {\displaystyle p(149)=25\cdot {\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~63~\\-31&~1&~&~&~&~4988~\\~434&-31&~1&~&~&~95751~\\-3565&~434&-31&~1&~&~766014~\\~18445&-3565&~434&-31&~1&~3323665~\\-57505&~18445&-3565&~434&-31&~8359848~\\\end{vmatrix}}=37027355200} で計算できる。また、分割数の第 n-部分和は行列式 ∑ k = 0 n p ( k ) = | 2 − 1 0 2 − 1 − 1 0 2 − 1 0 − 1 0 2 − 1 − 1 0 − 1 0 2 − 1 1 − 1 0 − 1 0 2 − 1 ⋮ ⋱ ⋱ c n − 1 c n − 2 ⋯ 2 − 1 c n c n − 1 ⋯ 0 2 | n × n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p(k)={\begin{vmatrix}~2&-1&~\\~0&~2&-1&~\\-1&~0&~2&-1&~\\~0&-1&~0&~2&-1&~\\-1&~0&-1&~0&~2&-1&~\\~1&-1&~0&-1&~0&~2&-1&~\\~\vdots &~&~&~&~&~&\ddots &\ddots &~\\c_{n-1}&c_{n-2}&~&\cdots &~&~&~&~2&-1&~\\c_{n}&c_{n-1}&~&\cdots &~&~&~&~0&~2&~\end{vmatrix}}_{n\times n}} で与えられる。ただし、c0 = −1, c1 = 2, c2 = 0 かつ k > 2 に対しては c k = { ( − 1 ) m + 1 if k = q m , ( − 1 ) m if k = q m + 1 , 0 otherwise. {\displaystyle c_{k}={\begin{cases}(-1)^{m+1}&{\text{if }}k=q_{m},\\(-1)^{m}&{\text{if }}k=q_{m}+1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} とする。相異なる整数成分への分割の分割数を q(n) と書けば（これは分割の項に述べるように奇数成分への分割の分割数とも等しく）、 q ( n ) = | 1 1 − 1 1 0 − 1 − 1 1 − 1 0 − 1 − 1 1 0 0 0 − 1 − 1 1 − 1 1 0 0 − 1 − 1 1 0 0 1 0 0 − 1 − 1 1 0 1 0 1 0 0 − 1 − 1 0 ⋮ ⋱ ⋮ | ( n + 1 ) × ( n + 1 ) {\displaystyle q(n)={\begin{vmatrix}~1&~&~&~&~&~&~&~&~1~\\-1&~1&~&~&~&~&~&~&~0~\\-1&-1&~1&~&~&~&~&~&-1~\\~0&-1&-1&~1&~&~&~&~&~0~\\~0&~0&-1&-1&~1&~&~&~&-1~\\~1&~0&~0&-1&-1&~1&~&~&~0~\\~0&~1&~0&~0&-1&-1&~1&~&~0~\\~1&~0&~1&~0&~0&-1&-1&~&~0~\\~\vdots &~&~&~&~&~&~&\ddots &~\vdots ~\end{vmatrix}}_{(n+1)\times (n+1)}} が成り立つ。第一列は数列 A010815 で、最終列は 2qm + 1 行目の成分が (−1)m でそれ以外の成分は零である。
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