行列式を使った拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/12 07:28 UTC 版)
行列式による定義を拡張して、n 次元ベクトル空間における n - 1 項演算としてのベクトル積が ( v , [ a 1 , … , a n − 1 ] ) = det ⟨ v , a 1 , … , a n − 1 ⟩ {\displaystyle ({\boldsymbol {v}},[{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}])=\det \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}\rangle } を定義できる。完全反対称行列を用いれば [ a 1 , … , a n − 1 ] i = ∑ j 1 , … , j n − 1 ϵ i , j 1 , … , j n − 1 a 1 j 1 ⋯ a n − 1 j n − 1 {\displaystyle [{\boldsymbol {a}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {a}}_{n-1}]_{i}=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n-1}}\epsilon _{i,j_{1},\ldots ,j_{n-1}}a_{1}^{j_{1}}\cdots a_{n-1}^{j_{n-1}}} となる。 例えば、2次元のベクトル空間では単項演算として [ a ] = ( a 2 − a 1 ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]={\begin{pmatrix}a_{2}\\-a_{1}\\\end{pmatrix}}} となり、4次元ではそれぞれ三項演算として [ a , b , c ] = ( + a 2 b 3 c 4 + a 3 b 4 c 2 + a 4 b 2 c 3 − a 2 b 4 c 3 − a 3 b 2 c 4 − a 4 b 3 c 2 − a 3 b 4 c 1 − a 4 b 1 c 3 − a 1 b 3 c 4 + a 3 b 1 c 4 + a 4 b 3 c 1 + a 1 b 4 c 3 + a 4 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 4 + a 2 b 4 c 1 − a 4 b 2 c 1 − a 1 b 4 c 2 − a 2 b 1 c 4 − a 1 b 2 c 3 − a 2 b 3 c 1 − a 3 b 1 c 2 + a 1 b 3 c 2 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]={\begin{pmatrix}+a_{2}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{4}c_{2}+a_{4}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{4}c_{3}-a_{3}b_{2}c_{4}-a_{4}b_{3}c_{2}\\-a_{3}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{1}c_{3}-a_{1}b_{3}c_{4}+a_{3}b_{1}c_{4}+a_{4}b_{3}c_{1}+a_{1}b_{4}c_{3}\\+a_{4}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{2}c_{4}+a_{2}b_{4}c_{1}-a_{4}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{4}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{4}\\-a_{1}b_{2}c_{3}-a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{1}c_{2}+a_{1}b_{3}c_{2}+a_{2}b_{1}c_{3}+a_{3}b_{2}c_{1}\\\end{pmatrix}}} となる。また、1次元では定数 1 となる。
※この「行列式を使った拡張」の解説は、「クロス積」の解説の一部です。
「行列式を使った拡張」を含む「クロス積」の記事については、「クロス積」の概要を参照ください。
- 行列式を使った拡張のページへのリンク
