4次元
4次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)
n = 4 の場合では、ホッジ双対は 2-ベクトルのなす空間の自己準同型として作用する（つまり、 4 − 2 = 2 であるので、ホッジ双対は 2-形式から 2-形式への写像である）。このときホッジ双対は対合であり、よって、ホッジ双対は自分から自分自身への自己双対と反自己双対な部分空間へ分解し、その上でホッジ双対がそれぞれ +1 , -1 として作用する。 他の有用な例は、n = 4 次元の計量の符号 (+ − − −) と 座標 (t, x, y, z) を使いミンコフスキー空間に対し、（ ε 0123 = 1 {\displaystyle \varepsilon _{0123}=1} を使い、） 1-形式に対し、 ⋆ d t = d x ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} t=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ d x = d t ∧ d y ∧ d z {\displaystyle \star \mathrm {d} x=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ d y = d t ∧ d z ∧ d x {\displaystyle \star \mathrm {d} y=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x} ⋆ d z = d t ∧ d x ∧ d y {\displaystyle \star \mathrm {d} z=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} であり、一方、2-形式に対し、 ⋆ ( d t ∧ d x ) = − d y ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x)=-\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} ⋆ ( d t ∧ d y ) = d x ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z} ⋆ ( d t ∧ d z ) = − d x ∧ d y {\displaystyle \star (\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y} ⋆ ( d x ∧ d y ) = d t ∧ d z {\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z} ⋆ ( d x ∧ d z ) = − d t ∧ d y {\displaystyle \star (\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} z)=-\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y} ⋆ ( d y ∧ d z ) = d t ∧ d x {\displaystyle \star (\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x} である。
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4次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:15 UTC 版)
詳細は「4-多様体(4-manifold) 」を参照 4次元多様体は、4次元の位相多様体である。滑らかな 4次元多様体は、滑らかな構造を持つ 4次元多様体である。4次元では、低次元での注目すべ対照として、位相多様体と滑らかな多様体では大きな差異があるということがある。滑らかな構造を持たない 4次元位相多様体が存在し、たとえ滑らかな構造があったとしても一意に決まるとは限らない（すなわち、同相であるが微分同相ではない 4次元位相多様体が存在する）。 物理学では、4次元多様体は重要である。一般相対論において、時空は擬リーマン的なな 4次元多様体であるからである。
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4次元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/17 20:29 UTC 版)
「チャールズ・ハワード・ヒントン」の記事における「4次元」の解説
1880年に発表された「第4の次元とは何か」("What is the Fourth Dimension?")という論文の中で、ヒントンは、3次元で移動する点は、3次元の平面を通過する直線の静的な4次元配列の連続した断面として想像できるのではないかと提案している。これは世界線という概念を先取りした考えである。ヒントンは、高次元空間を探求するには心構えが必要だとしていた。 ヒントンは、高次の空間を直観的に認識するためには、3次元の世界を観察する立場にある私たちが、右や左、上や下といった考えを捨て去ることが必要だと主張している。ヒントンは、このプロセスを「自己を追い出す」(casting out the self)と呼び、これは他者への共感のプロセスと同等のものであり、この2つのプロセスが相互に強化されていることを示唆している。 ヒントンは4次元の要素を表現するためにいくつかの新しい言葉を作った。『オックスフォード英語辞典』(OED)によると、ヒントンが初めて「テッセラクト」という言葉を使ったのは、1888年の著書"A New Era of Thought"（思考の新しい時代）においてである。ヒントンのオックスフォードでの知り合いで、義姉に当たるアリシア・ブール・ストット（英語版）が、ヒントンが国外にいる間にこの本の出版の世話をした。ヒントンは、3次元の左・右（x軸）、上・下（y軸）、前・後（z軸）の方向に相当する4次元の方向を表現するために、kataとanaという言葉を考案した。それぞれギリシャ語で「～から下の方へ」「～から上の方へ」の意味である。 ヒントンは、"What is the Fourth Dimension?"（四次元とは何か）や"A Plane World"（平面の世界）など9作品の科学ロマンスを1884年から1886年にかけてスワン・ソンネンシャイン社から刊行した。ヒントンは"A Plane World"の序文で、エドウィン・アボット・アボットが1884年に出版した『フラットランド』(Flatland)について触れ、この本は内容は似ているが意図は違うと言及している。ヒントンは、アボットは物語を「風刺や教訓を語るための舞台」として使っているのに対し、ヒントンは物理的な事実を知りたいのだと述べた。ヒントンが描いた二次元世界は、アボットの『フラットランド』のような無限に広がる平面上ではなく、円の外周に沿って存在するものだった。ヒントンはアボットの作品を発展させて"An Episode of Flatland: Or How a Plane Folk Discovered the Third Dimension"を執筆した。
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