行列式や固有値の積との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/28 14:18 UTC 版)
「QR分解」の記事における「行列式や固有値の積との関係」の解説
QR分解を正方行列の行列式の絶対値を求めるのに利用できる。ある行列が A = Q R {\displaystyle A=QR} と分解できるとする。このとき det ( A ) = det ( Q ) ⋅ det ( R ) {\displaystyle \det(A)=\det(Q)\cdot \det(R)} である。 Qはユニタリであるため、 | det ( Q ) | = 1 {\displaystyle |\det(Q)|=1} である。したがって、 r i i {\displaystyle r_{ii}} をRの対角要素とすると、 | det ( A ) | = | det ( R ) | = | ∏ i r i i | {\displaystyle \left|\det(A)\right|=\left|\det(R)\right|=\left|\prod _{i}r_{ii}\right|} となる。 さらに、行列式は固有値の積に等しいため、 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} を A {\displaystyle A} の固有値とすると、 | ∏ i r i i | = | ∏ i λ i | {\displaystyle \left|\prod _{i}r_{ii}\right|=\left|\prod _{i}\lambda _{i}\right|} となる。 QR分解の定義を非正方行列に導入し、固有値を特異値に置き換えることで、上記性質を非正方行列 A {\displaystyle A} に拡張することができる。 非正方行列AのQR分解を A = Q [ R O ] , Q ∗ Q = I {\displaystyle A=Q{\begin{bmatrix}R\\O\end{bmatrix}},\qquad Q^{*}Q=I} とする。ただし、 O {\displaystyle O} は零行列、 Q {\displaystyle Q} はユニタリ行列。 特異値分解と行列式の性質から、 σ i {\displaystyle \sigma _{i}} を A {\displaystyle A} の特異値として、 | ∏ i r i i | = ∏ i σ i {\displaystyle \left|\prod _{i}r_{ii}\right|=\prod _{i}\sigma _{i}} A {\displaystyle A} と R {\displaystyle R} の特異値は同じであるが、複素固有値が異なる場合があることに注意すること。しかしながら、Aが正方ならば、下記は真である。 ∏ i σ i = | ∏ i λ i | {\displaystyle {\prod _{i}\sigma _{i}}=\left|{\prod _{i}\lambda _{i}}\right|} 結論として、QR分解を使うことによって行列の固有値や特異値の積を効率よく計算することができる。
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