行列式の変分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:15 UTC 版)
「アインシュタイン・ヒルベルト作用」の記事における「行列式の変分」の解説
ヤコビの公式（英語版）(Jacobi's formula)と呼ばれる行列式の微分規則は、次の式を導きだす。 δ g = δ det ( g μ ν ) = g g μ ν δ g μ ν {\displaystyle \,\!\delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=g\,g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }} そうでない場合は、 g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\!} が対角的になるよう座標を変換して、その後に主対角上の要素の積を変分する規則を適用する。 このことを使うと、 δ − g = − 1 2 − g δ g = 1 2 − g ( g μ ν δ g μ ν ) = − 1 2 − g ( g μ ν δ g μ ν ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\sqrt {-g}}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu })&=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu })\,.\end{aligned}}} が得られる。この最後の等式を示すことに、 g μ ν δ g μ ν = − g μ ν δ g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }} を使用した。この式は、逆行列の変分の規則である δ g μ ν = − g μ α ( δ g α β ) g β ν . {\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }(\delta g_{\alpha \beta })g^{\beta \nu }\,.} から得られる。 このようにして 1 − g δ − g δ g μ ν = − 1 2 g μ ν . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }.} を結論付けることができる。
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