低次線型方程式系に対する行列式公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:27 UTC 版)
「クラメルの公式」の記事における「低次線型方程式系に対する行列式公式」の解説
線型方程式系 { a x + b y = e c x + d y = f {\displaystyle {\begin{cases}ax+by={\color {red}e}\\cx+dy={\color {red}f}\end{cases}}} あるいは行列記法で [ a b c d ] [ x y ] = [ e f ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}} を考え、ad − bc ≠ 0 と仮定すると、x および y はクラメルの法則で計算できて x = | e b f d | | a b c d | = e d − b f a d − b c , y = | a e c f | | a b c d | = a f − e c a d − b c {\displaystyle {\begin{aligned}x={\tfrac {{\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}\ }{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc},\\[8pt]y={\tfrac {{\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}\ }{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}\end{aligned}}} を得る。三次の場合も同様で、線型方程式系 { a x + b y + c z = j d x + e y + f z = k g x + h y + i z = l {\displaystyle {\begin{cases}ax+by+cz={\color {red}j}\\dx+ey+fz={\color {red}k}\\gx+hy+iz={\color {red}l}\end{cases}}} あるいは [ a b c d e f g h i ] [ x y z ] = [ j k l ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}} に対して、 x, y, z は x = | j b c k e f l h i | | a b c d e f g h i | , y = | a j c d k f g l i | | a b c d e f g h i | , z = | a b j d e k g h l | | a b c d e f g h i | {\displaystyle x={\tfrac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\tfrac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\tfrac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}} で求められる。
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